Toute courbe est-elle décrite par une équation?

[Sharp]

Bonjour,
je me pose une question, qui est de savoir s'il existe ou non une équation qui correspond à chaque courbe. je m'explique plus clairement: imaginons qu'avec mon crayon, je trace une courbe au hasard sur un graphique, est-ce que cette courbe est forcément décrite par un équation (aussi complexe soit-elle)?
Je me disais aussi que c'était peut-être indémontrable, je ne sais pas trop...
Est-ce qu'il y a des théorèmes là-dessus?
Merci!

[qazxcv]

Bonjour,
je me pose une question, qui est de savoir s'il existe ou non une équation qui correspond à chaque courbe. je m'explique plus clairement: imaginons qu'avec mon crayon, je trace une courbe au hasard sur un graphique, est-ce que cette courbe est forcément décrite par un équation (aussi complexe soit-elle)?
Je me disais aussi que c'était peut-être indémontrable, je ne sais pas trop...
Est-ce qu'il y a des théorèmes là-dessus?
Merci!

On peut tracer des courbes pour une équation très complexe en utilisant la dérivée et la dérivé seconde, mais pour le contraire je n'en ai aucune idée

[pi-r2]

Si tu la dessines avec ton crayon, tu lui confères déjà des propriétés particulières. En particulier la distribution de Dirac ne peut pas se représenter avec un crayon.
Ainsi, tu peux toujous découper une courbe tracée au crayon en une série de segments de courbe continus.
Ces segments pris individuellement peuvent toujours être décomposé en série de fonctions (série de fourrier ou séries de Laplace), restreintes à l'intervalle de définition.
Cela ne garantit en rien de trouver une expression que l'on considère comme simple.

[olle]

pour faire simple, on peut dire que toute fonction continue (donc l'exemple de ton crayon) peut etre décrite comme étant la somme de sinusoides et de cosinusoides d'amplitudes et de fréquences différentes.

[doryphore]

Pas d'accord.
Essaies avec un cercle.

[Quinto]

Aussi bete que cela puisse parraitre, la réponse est... oui:

Courbe={ensemble des points qui appartiennent a la courbe}

Par exemple quand tu traces la courbe d'une fonction f de R dans R, tu traces l'ensemble des points {(x,f(x), ou x décrit R}, c'est la définition algébrique d'un graphe d'ailleurs... ni plus ni moins.

[olle]

Pas d'accord.
Essaies avec un cercle.

un cercle n'est pas une fonction, et je parle de "fonctions continues"

[doryphore]

D'accord, mais ça ne répond pas à la question initiale qui parle de courbes et non de fonctions...

[davidtripo]

mmmh n'y a t il pas ces fameuses courbes indescriptible ou lorsque l'on zoom sur la fonction elle est tjrs de plus en plus complexes...en gros je veux parler des fonctions (dégueulasses)....

[doryphore]

Oui, mais il faut des mines de crayons infiniments petites pour faire ce genre d'horreur.

[davidtripo]

lol oui t'as raison mdr

[doryphore]

Sinon, on peut aussi s'intéresser aux polynômes d'interpolation de Lagrange qui permettent d'approcher (et non approximer, qui n'est dans aucun dictionnaire) les fonctions continues.

[davidtripo]

bon en fait y a aussi les fonctions paramétriques par exemple avec des courbes qui font x boucle... ds ce genre de cas on utilise 3 coordonnée
t x y
t représente le temps
donc ca veut dire que x et y sont fait en fonction de t. voila en gros pour les courbes ...

[Sharp]

Salut,
ok donc pour obtenir une équation de la courbe, de toutes façons il faudra la diviser en tous petits morceaux pour se ramener à des droites ou des fonctions connues.

pour faire simple, on peut dire que toute fonction continue (donc l'exemple de ton crayon) peut etre décrite comme étant la somme de sinusoides et de cosinusoides d'amplitudes et de fréquences différentes.

Cette somme est-elle finie ou infinie?

[Quinto]

Dans le cas général, cette somme est infinie.
Si tu veux des infos sur le sujet, fait une recherche la dessus:

Transformation de Fourier.
Séries de Fourier.(développement en)
Théorème de Dirichlet
Noyau de Dirichlet.