[MPSI] Complexes

[Seth.]

Bonjour à tous !

J'ai un DM de maths en cours et j'aimerais avoir votre avis sur ma méthode svp...


Soit
On lui associe l'équation de racines et .

A. Comparer les modules et arguments de et .
Peut on choisir pour que et soient réelles ou imaginaires pures.

De ce qu'on sait sur la somme et le produit des racines d'un polynome de degré 2, on peut dire :


Donc

Et


Or donc et

Pour la 2ème partie de la question,



Et donc
(C'est ici que j'ai des doutes...)

Ensuite,
Ce qui nous donne Ce qui est donc possible car

Et
Ce qui nous donne Ce qui est donc impossible car

Merci de votre aide ...
-----

[invitec053041c]

Bonjour.

Or

D'où tires-tu cela ?

[invite6ed3677d]

Bonjour,

Ca semble OK.
Il faudrait s'assurer que tu puisses diviser par ...

Pour avoir un réel, il faut un argument de ,
pour un imaginaire pur, il faut un argument de ,
k étant entier relatif.

[Seth.]

Bonjour.



D'où tires-tu cela ?

=> Les solutions d'unes équation du 2nd degré sont des complexes conjugués

Non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Pour avoir un réel, il faut un argument de ,
pour un imaginaire pur, il faut un argument de ,
k étant entier relatif.

Pas tout à fait sinon les imaginaires purs seraient des réels (k=2 par exemple)

[Médiat]

=> Les solutions d'unes équation du 2nd degré sont des complexes conjugués

Non ?

Non !

En fait c'est vrai pour les solutions complexes des équations à coefficients réels, ce qui n'est pas le cas ici

[Seth.]

=> Tonton Nano
j'ai précisé les modulo pi et et on a


Est ce toujours vrai ou pas ? (ca me semble un peu byzarre?)

[Seth.]

Non ... Personne n'a d'idées ?

[Seth.]

Non !

En fait c'est vrai pour les solutions complexes des équations à coefficients réels, ce qui n'est pas le cas ici

Ah ok!

Donc on ne peut rien dire de plus que et

Ce qui veut dire que tout le reste n'est pas juste...
Je ne vois pas du tout comment procéder alors, avez vous des pistes de recherche?

[Seth.]

euh... petite erreur remplacer par

Merci

[invitec053041c]

J'ai un peu regardé.

Bon je suis d'accord qu'on peut écrire


Si ces solutions sont réelles, alors il y a deux cas: argument nul ou égal à Pi.

On a donc nécéssairement z'=r et z''=1/r (qui peuvent être positifs ou négatifs selon si l'argument était nul ou égal à Pi).

D'après la première équation tu as t'implique theta nul (mod Pi).

Bref, c'est un peu long à écrire ici mais c'est assez élémentaire à rédiger.

[Seth.]

D'accord je vois ce que tu veux dire...

Et pour que les deux racines soit imaginaires pures, ?

[invitec053041c]

D'accord je vois ce que tu veux dire...

Et pour que les deux racines soit imaginaires pures, ?

Oui c'est ça.

[Seth.]

Ensuite on me demande de calculer les modules et arguments de s'=z'-p et s''=z''-p

D'après le premier système je trouveque s' + s'' = 0 et ensuite et avec les signe inversés.

Ce qui ensuite me donne leurs modules egaux à

Par contre je n'ai aucune idée pour les arguments...

Tu en penses quoi ?

Merci de ton aide.

[invitec053041c]

Tu peux faire module et argument d'un coup.

En effet, par exemple:



Tu devrais reconnaître quelque chose dans la parenthèse .
Fais un petit peu attention à ne pas conclure trop vite, mais vois déjà ce que ça donne.

PS: le module que tu donnes est faux.

[Seth.]

On a , et

Ce qui donne
J'ai calculé leur modules et arguments :

et
avec

J'ai ensuite calculé ,
,

et

Ensuite c'est là que j'ai quelques problèmes ...

On a ,
et ,

On me demande de montrer que ont même argument et de le calculer.
J'ai trouvé :
C'est un réel (mais il est pas tout le temps positif...), est ce que ça justifie qu'ils ont alors même argument ? Je ne sais pas comment le calculer par contre ?

Et il faut aussi que je montre que ont même module (à calculer), et là ... ba je sèche encore plus.

Merci par avance de votre aide...

[Seth.]

Même pas une petite idée...