Dl en l'infini

Deeprod · 18/09/2007 - 19h29

Voila mon probleme, je dois trouver le dl en + et - infini de :

$\sqrt[3]{x^3+x+1} - \sqrt{x^2-x+1}$

Pour +inf, pas de probleme, j'ai chercher le dl en 0 de f(1/x), et j'obtient quelque chose de pas trop mechant, car la fonction a une limite finie en +inf.

Cependant en -infini, la limie est -infini, et la je sais plus trop comment procédé. Je viens d'essayer de trouver une asymptote (qui me donnera le dl a l'ordre 1 si je ne m'abuse) et je trouve y = 2x + b : Impossible de trouver le b.
J'ai une forme indeterminé que j'arrive pas à simplifier si je fais :

$\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x) - ax$

je suis un peu à cours de solution
Merci pour votre aide...

Ksilver · 18/09/2007 - 19h38

Salut !

si tu trouve que f(1/x) a un DL en 0, alors ce Dl est a la fois un DL en + l'infinit et en -l'infinit.

si ce n'est pas le cas, il faut regarder le DL a droite et le DL a gauche de f(1/X), l'un donne le DL en plusl'infinit, l'autre en - l'infinit

Ledescat · 18/09/2007 - 19h42

Bonjour.

En écrivant (avec x=1/h) $f(x)=x[(1+h^2+h^3)^{1/3}-(1-h+h^2)^{1/2}]$

Et en faisant le DL d'uniquement ce qu'il y a dans la parenthèse, tu devrais retrouver tes billes il me semble

.

Deeprod · 18/09/2007 - 20h22

C'est ce que j'ai fais, et si je fais le dl que tu preconise ledescat, je vais obtenir un terme constant pour mon polynome.
Ensuite, il faut multiplier encore par x, c'est a dire diviser par h. Donc je me retrouve avec un un terme en 1/h.
Pour le dl en +infini, il n'y a pas de terme constant, donc on peut diviser par h sans probleme, ce qui donne le dl de suite

Je sais pas si c'est clair...

Deeprod · 18/09/2007 - 20h33

En fait, tu a sorti les x des deux racines (cubiques et carré), et il faut faire plusieurs cas, x < 0 et x > 0, car il y a probleme lorsque tu sors x de la racine carré. Et c'est cette condition qui fait que les dl en + et - infini sont different. Et c'est ce changement de signe, qui fait que le dl en +infini est plus simple que celui en -infini

invite34596000666 · 18/09/2007 - 20h39

Bah, ça devient complexe en -Inf si je me suis pas planté…

ericcc · 19/09/2007 - 13h10

Effectivement ton expression tend vers -infini en -infini. Tu ne peux donc pas trouver de DL, mais un équivalent.

Pour cela le mieux est de sortir x de la racine cubique - pas de pb - et de sortir (-x) de la racine carrée. Les termes restants dans les racines sont de la forme 1+epsilon, que tu peux donc développer par DL.

Ensuite je pense que le plus simple est d'étudier la limite de f(x)-2x en -infini