transformée de laplace utilisation de la fct echelon

[invite40900d3d]

bonjour
j ai une representation d une fonction sous les yeux

en la lisant j obtiens
pour t<0 f(t)=0
pour 0<=t<1 f(t)=t
pour 1<=t<2 f(t) = -t+2
t>=2 f(t)=0
donc en gros j ai une droite horizontale une rampe croissante puis une rampe decroissante puis de nouveau une droite horizontale

je dois calculer la transformée de cette fonction en utilisant la fonction echelon mais je n y arrive pas
je pense que l on a f(t)=t u(t) - 2t(u(t) mais bon je ne suis pas sur alors avant de continuer un peu d aide me ferait pas de mal
merci de votre aide
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[invite7b1518cc]

slt Aurelie
En fait, tu cherches la transformée de Fourier ou de Laplace ?,si c'est la transformée de Fourier,alors la solution est trés facile

[invite40900d3d]

transformee de Laplce
merci

[invite7b1518cc]

Salut Aurelie
Désolé pour ce retard ,bon je te propose une méthode (utilisée pour trouver la transformée de Fourier en utilisant la fonction échelon)je pense qu’elle est applicable à ton problème

Cette technique qui est souvent appliquée dans le domaine des traitements des signaux(électronique), elle utilise la dérivation et les propriétés des fonctions Echelon et Dirac
Avant d’entamer le problème voici quelque définitions et propriétés :

Fonction de Dirac (nommée delta) est une fonction qui est définie seulement en zéro tel que

1 si t = 0
Delta =
0 ailleurs

propriétés : (on sites que quatre)
1) La dérivé de la fonction échelon est la fonction de Dirac
2) X(t)*delta(t-t0)=X(t0)*delta(t-t0) (c’est logique, sachant que la fonction de Dirac est définie seulement en 0, donc t-t0 doit être égal à 0, par conséquent t = t0,c’est pour cela l’expression X(t) devient X(t0)
3) La transformée de Laplace de la fonction échelon est 1/s
4) La transformée de Laplace de la fonction deDirac est 1

Bon revenant maintenant à ton problème

Pour t<0 f(t)=t et 0<=t<=1 f(t)= t et 1<=t<=2 f(t)=2-t et 0 ailleurs donc on peut écrire f sous la forme suivante :
f(t)=t[U(t)-U(t-1)]+(2-t)[U(t-1)-U(t-2)](donc il faut corriger l’expression que t’a écris)
D’où
f(t)=tU(t)-tU(t-1)+(2-t)U(t-1)-(2-t)U(t-2)
On dérive cette expression
f ’(t)=U(t)+t*Delta(t)-U(t-1)-t*Delta(t-1)-U(t-1)+(2-t)*Delta(t-1)-U(t-2)-(2-t)*Delta(t-2)

D’après la propriétés N° 2 alors
t*Delta(t)=0
on regroupe les thermes de même nature :
f ’(t)=U(t)-2U(t-1)+(2-2t)*Delta(t-1)-(2-2t)*Delta(t-2)-U(t-2)

comme
(2-2t)*Delta(t-1)= 0
et (2-2t)*Delta(t-2)=0 (propriété N°2) alors on auras
f ’(t)=U(t)-2U(t-1)-U(t-2)

on dérive une deuxième fois :
f ’’(t)=Delta(t)-2*Delta(t-1)-Delta(t-2)……………(1)
Or la transformée de Laplace de la fonction Delta=1 (propriété N°4)

Bon je te laisse le soin de trouver les transformées de Laplace des expressions :2*Delta(t-1) et Delta(t-2)….on suppose que TL(transformée de Laplace)de 2*Delta(t-1)=2*exp(s) (ici exp présente la fonction exponentielle) et TL de Delta(t-2)=exp(2*s) (désolé je n’est pas le tableaux des transformations de Laplace donc essaye d’en trouver un )Mais le raisonnement est correcte !

D’autre part on sait que la TL[f ’’(t)]=S²X(s) (on suppose que les conditions initiales sont nulles)
Alors L’expression (1) devient :

s²X(s)=1-2*exp(s)-exp(2s)

Finalement:

X(s)=(1/s²)*(1-2*exp(s)-exp(2s))

Voila j’espère que tu as trouvé ce que tu cherchais et si tu as des questions sur cette méthode, alors n’hésites pas me les posés voici mon mail :

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Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]