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Somme amalgamée, pushout, etc.

  1. #1
    martini_bird

    Somme amalgamée, pushout, etc.

    Salut,

    j'aurais besoin de vos lumières au sujet d'une question de vocabulaire : peut-on parler de somme amalgamée dans n'importe quelle catégorie (pourvu qu'elle existe), ou le terme est-il réservé à la catégorie des groupes ?

    Par ailleurs, est-ce qu'un « pullback » est toujours un produit fibré ?

    Merci d'avance.

    -----

    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  2. Publicité
  3. #2
    Taar

    Re : Somme amalgamée, pushout, etc.

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,

    j'aurais besoin de vos lumières au sujet d'une question de vocabulaire : peut-on parler de somme amalgamée dans n'importe quelle catégorie (pourvu qu'elle existe), ou le terme est-il réservé à la catégorie des groupes ?

    Par ailleurs, est-ce qu'un « pullback » est toujours un produit fibré ?

    Merci d'avance.
    Salut.

    Dans chaque exemple que j'ai rencontré (catégorie en général, catégorie triangulée, catégorie abélienne, anneaux commutatifs, schémas) on emploie bien ce vocabulaire de somme amalgaméee et de produit fibré (voire pushout et pullback quand on veut faire vite), et on double avec un vocabulaire spécifique à la construction ("somme amalgamée" devient "produit tensoriel au dessus d'un anneau" ou "extension de l'anneau de base" pour les anneaux par exemple, produit fibré devient produit "au-dessus d'un schéma" pour les schémas, ou "extension du corps de base" dans certains cas). Je suppose que le vocabulaire français s'est plus ou moins standardisé avec le temps. En anglais, le "free product with amalgamation" est, me semble-t-il, spécifique aux groupes.

    Taar.

  4. #3
    martini_bird

    Re : Somme amalgamée, pushout, etc.

    Salut,

    merci pour ta réponse. Je n'avais pas tilté que somme amalgamée et produit tensoriel répondent au même problème universel. Du coup, on peut dire que les deux constructions coïncident pour la catégorie des groupes abéliens de type fini (puisqu'ils peuvent être vus comme Z-modules), n'est-ce pas ?

    Et sinon, tu aurais des exemples où le produit fibré peut se voir comme une extension des scalaires ?
    {EDIT] Non, en fait je viens de tilter ce que tu voulais dire : c'est par exemple la construction d'un revêtement au-dessus de B' quand on a un morphisme et un revêtement au dessus de B.[/EDIT]

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 12/11/2007 à 18h32.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. #4
    Taar

    Re : Somme amalgamée, pushout, etc.

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Du coup, on peut dire que les deux constructions coïncident pour la catégorie des groupes abéliens de type fini (puisqu'ils peuvent être vus comme Z-modules), n'est-ce pas ?
    Pas exactement. Dans la catégorie des groupes abéliens (donc dans celle des groupes abéliens de type fini), la somme amalgamée n'est autre que la somme directe quotientée (c'est comme dans les groupes tout court, sauf que comme c'est abélien c'est plus simple).

    C'est pareil d'ailleurs dans la catégorie des modules sur un anneau commutatif unitaire fixé.

    Remarque en passant que le fait pour G d'être un Z-module ne donne pas de morphisme canonique de groupes Z->G.

    C'est dans la catégorie des anneaux (commutatifs et unitaires), où tout est anneau, que ça coïncide avec le produit tensoriel.

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Et sinon, tu aurais des exemples où le produit fibré peut se voir comme une extension des scalaires ?

    {EDIT] Non, en fait je viens de tilter ce que tu voulais dire : c'est par exemple la construction d'un revêtement au-dessus de B' quand on a un morphisme et un revêtement au dessus de B.[/EDIT]
    Oui. C'est exactement à la version "schéma" de ça que je pensais.

    Cordialement
    Taar.

  6. #5
    martini_bird

    Re : Somme amalgamée, pushout, etc.

    Salut,

    Pas exactement. Dans la catégorie des groupes abéliens (donc dans celle des groupes abéliens de type fini), la somme amalgamée n'est autre que la somme directe quotientée (c'est comme dans les groupes tout court, sauf que comme c'est abélien c'est plus simple).

    C'est pareil d'ailleurs dans la catégorie des modules sur un anneau commutatif unitaire fixé.
    Ok, j'y vois un peu plus clair.

    Merci pour tes lumières !

    Oui. C'est exactement à la version "schéma" de ça que je pensais.
    La question m'était venue notamment en replongeant dans le red book de Mumford. C'est donc amusant que tu parles à plusieurs reprises de schémas.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  7. #6
    invite52487760

    Re : Somme amalgamée, pushout, etc.

    Bonjour à tous,

    Est ce que le pushout d'un morphisme est la même chose que le pushforward d'un morphisme ? ou bien, il y'a une différence ?

    Merci d'avance.

  8. #7
    taladris

    Re : Somme amalgamée, pushout, etc.

    Comme le nom l'indique, non

  9. #8
    invite52487760

    Re : Somme amalgamée, pushout, etc.

    Merci.
    Et quelle est la différence ?
    Merci d'avance.

  10. #9
    taladris

    Re : Somme amalgamée, pushout, etc.

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    Bonjour à tous,

    Est ce que le pushout d'un morphisme est la même chose que le pushforward d'un morphisme ? ou bien, il y'a une différence ?

    Merci d'avance.
    Ah! J'avais lu pullback et pushforward! Au temps pour moi.

    En theorie des categories, pushout et pushforward sont la meme chose.

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