Critère d'Eisenstein

[Romain-des-Bois]

Bonjour !

une petite question sur le critère d'Eisenstein...

Eisenstein version wikipédia : ici

qui n'a pas grand chose à voir avec la version cours : Xⁿ + ... + 1 est irréductible dans Q si n est premier ( )

alors que selon wiki, ce serait plutôt :
P = a_n X ⁿ + ... + a₀

est irréductible si :
il existe p premier tel que :
p divise chaque a_i sauf a_n
et p² ne divise pas a₀

(je commence à me demander si je deviens pas sourd... )

Bref, qui a raison ? (je suis quasi sûr que c'est ce qui a été dit en cours car on m'en a reparlé ensuite)

Notez que je préfèrerais que ce soit la version wiki qui soit vraie


Romain
-----

[invite2220c077]

La "vraie" version du critère d'Eisenstein est celle de Wikipedia ... la tienne n'est qu'une conséquence directe de ce critère dans un cas particulier .

[invite2220c077]

En voici la démo :

Soit p un nombre premier et . Alors P est irréductible dans Q[X]

L'idée est d'appliquer le critère d'Einseinstein au polynôme :

.

Il est alors facile de vérifier que Q est le polynôme satisfaisant les hypothèses du critère d'Einseinstein (je rappelle que p étant premier, p divise pour ). Ainsi Q, et donc P, est irréductible dans Q[X] (grâce au lemme : Si un polynôme P de Z[X] est irréductible dans Z[X] il est aussi irréductible dans Q[X]).

[Romain-des-Bois]

Salut (un peu tard...)

Je te remercie pour ta réponse et ta démonstration !

mais il y a quand même un petit problème :
"mon" critère est :
si n est premier, le polynôme : Xⁿ + ... + 1 est irréductible dans Q[X]
alors que tu prouves :
que X^n-1 + ... + 1 est irréductible dans Q[X]

mais tu dois avoir raison


merci en tous cas !

Romain

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

Re !

Après avoir relu attentivement la preuve, j'ai quelques problèmes...

EDIT : plus de problème d'énoncé...
la vraie version est si p est premier, X^p-1+...+1 est irréductible dans Q


dans le cas où on considère le polynôme X^p-1+ ... + 1
si on pose : Q(X)=P(X+1), on montre (ça marche très bien) que Q est irréductible dans Q[X] (critère d'Eisenstein)

mais là, il y a deux problèmes qui se posent à moi :

(i) on passe de Q à P en disant que si un est irréductible dans Z[X], l'autre l'est aussi... Comment ? (pas clair tout ça)
(ii) on utilise le lemme : P réductible dans Q[X] implique P réductible dans Z[X] (ou sa contraposée), mais où ça ?

Si j'admet qu'on a montré Q irréductible dans Z[X] alors P l'est aussi (je ne sais pas trop pourquoi... ). En utilisant le lemme (ii), on montre alors que P est irréductible dans Q[X].

Bref, tout ça n'est pas très clair et j'aimerais bien que quelqu'un éclaire ma lanterne !

Merci beaucoup


Romain

[invite986312212]

salut, si P=AB alors Q(X)=P(X+1)=A(X+1)B(X+1) donc P non irrécuctible implique Q non irréductible ( car A(X) non constant implique A(X+1) non constant)

[invited04d42cd]

Bonjour,
En fait, il est plus intéressant de démontrer :
.

Si P ne peut s'écrire sous la forme , deg R >= 1, deg Q >= 1, alors P irréductible sur .

En fait, P irréductible dans Z <=> (P=RQ => R ou Q inversible => R ou Q = +/- 1)
Et donc 3T est réductible dans Z et irréductible dans Q.

Pour le démontrer, tu dois utiliser une astuce de Gauss, le "contenu" d'un polynôme, qui est par définition le pgcd de ses coeff.
Je te fais le schéma :

1°) P primitif ssi cont P = 1
Montrer P primitif ssi pour tout p premier, P[p] <> 0 (P[p] = P avec ses coeff réduit modulo p)

2°) En déduire que si P et Q sont primitifs, alors PQ l'est.

3°) Montrer que cont(PQ) = cont(P)cont(Q).

4°)En déduire que si, , on a P=QR, , , alors , , .

5°) Conclure

J'espère n'avoir pas fait d'erreur.

[invited04d42cd]

A un modérateur -> je ne vois pas mes images tex, ai-je mal placé mes balises ?