démonstration concernant le nombre d'or

pseunanou · 01/11/2004 - 22h01

Bonjour,

Heu voilà j'ai un ti problème, ça fait plusieurs jours que je lutte pour démontrer grâce aux formules d'Euler que cos(pi/5)=phi/2 (phi étant le nombre d'or, phi = (1+sqrt(5))/2 alors si quelqu'un peut m'aider

!!

Merciiiiiiiiiiii
Anne

.:Spip:. · 02/11/2004 - 12h03

je suis preneur aussi, je n'arrive pas a trouver cos pi/5

martini_bird · 02/11/2004 - 12h09

Salut,

je te propose un plan de démonstration, qui utilise les nombres complexes:
Soit $\theta=2\pi/5$ et $P=X^5-1$
1) Que représente les racines du polynôme P ?
2) Démontrer que $e^{i\theta}$ est solution de l'équation $x^4+x^3+x^2+x+1=0$ .
3) En remarquant que $e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$ , prouver que $\cos\theta$ est solution de l'équation $8x^+4x^3-6x^2+x+1=0$ .
4) Vérifier que le polynôme $8X^4+4X^3-6X^2+X+1$ se factorise en $(4X^2+2X-1)(2X^2-1)$ .
5) En déduire la valeur de $\cos\theta$ puis celle de $\cos\pi/5$ .

Voili, il y quelques calculs... Mais il suffit d'être soigneux. Il y a peut-être une méthode plus directe, mais là, je ne vois pas.

Cette méthode a aussi le mérite d'être utilisable pour d'autres angles.

pseunanou · 02/11/2004 - 12h59

oki

merci beaucoup pour la réponse, je vais essayer et je te dirais si ça a marché !!

**shokin** · 02/11/2004 - 22h42

Est-ce possible de démontrer géométriquement ? en imaginant un pentagone régulier inscrit dans un cercle. (juste une idée, rien de concrêt)

Shokin

martini_bird · 03/11/2004 - 00h03

La démonstration que j'ai proposée s'appuie sur les racines cinquièmes (complexes) de l'unité dont l'interprétation géométrique est précisément les sommets d'un pentagone inscrit dans le cercle unité.

Est-ce que l'on peut se passer des calculs et utiliser des arguments strictement géométriques? C'est possible, mais je ne saurais pas en dire plus...

Soren · 03/11/2004 - 07h51

J'ai eu cette idée:

cos(2*pi/5) = 2* cos(pi/5)^2 -1
cos(4*pi/5)= 2* cos(2*pi/5)^2 -1 (1)

de (1) : cos(pi-pi/5)= 8*cos(pi/5)^4 +8*cos(pi/5)^2 +3
soit a resoudre ,en posant X=cos(pi/5):

8*X^4 - 8*X^2 + X +1=0

on a -1 et 1/2 comme racines evidentes on obtient donc:

8*(X+1)*(8*X^3 -8*X^2 +1) puis,
8*(X+1)*( 8*(X-1/2)*(X^2 -1/2 *X -1/4 ) )
donc a resoudre l'eq: 4*X^2 -2*X -1 = 0

X= (1 +- racine(5) )/4 soit phi/2 en prenant X >0

martini_bird · 03/11/2004 - 11h39

Bravo!

C'est astucieux et plus direct que la méthode que j'ai proposée!

Je rectifie juste une petite coquille: au lieu de

Envoyé par Soren

cos(pi-pi/5)= 8*cos(pi/5)^4 +8*cos(pi/5)^2 +3

il vaut mieux lire
cos(pi-pi/5)= 8*cos(pi/5)^4 -8*cos(pi/5)^2 +1

**shokin** · 03/11/2004 - 13h03

Envoyé par Soren

cos(2*pi/5) = 2* cos(pi/5)^2 -1
cos(4*pi/5)= 2* cos(2*pi/5)^2 -1 (1)

Comment arrives-tu là ?

Si je comprends ça, je comprends le reste.

Shokin

martini_bird · 03/11/2004 - 13h05

C'est une des formules de duplications:
cos(2x)=2cos²x-1
On peut la déduire des formules d'addition (vive la trigo!)

**shokin** · 03/11/2004 - 13h08

Ah ! ok !

faudra que je me remette à ces formules de trigo !

Shokin

Soren · 03/11/2004 - 13h46

Envoyé par martini_bird

Bravo!

C'est astucieux et plus direct que la méthode que j'ai proposée!

Je rectifie juste une petite coquille: au lieu de
il vaut mieux lire
cos(pi-pi/5)= 8*cos(pi/5)^4 -8*cos(pi/5)^2 +1

Exact! j'ai recopié betement la faute que j'avais fait en premiere instance sur mon brouillon .

koko256 · 22/01/2006 - 22h30

Une démonstration géométrique, qu'un élève de 5e doit pouvoir comprendre (voire trouver).

Soit ABCDE un pentagône régulier de côté 1.
Appelons x, la distance AC=BD=CE=DA=EB.

On sait que la somme des angles d'un polygône régulier à n côté est (n-2)pi/n. EAB=ABC=BCD=CDE=DEA=3*pi/5

Les angles CBD=CAD=CED car B A et E sont tous sur un cercle dont CD est une corde. Par symétrie centrale d'ordre 5, on en déduit que BAC=CAD=DAE, et donc que BAC=CAD=DAE=pi/5.

En traçant les segments AC ED CE DA EB, on obtient un pentagone plus petit A'B'C'D'E', où A' est à l'intersection de DB et CE, B' de CE et AD, etc.

les triangles BAD' AEC' DEB' etc... sont homothétiques de BAE, EAD, CDE etc, car ils sont aussi isocèles dont l'angle double est pi/5. Ainsi, BD'=AD'=AC'=EC'=...=1/x.

D'après le théorème de Thalès, AD'/AC=D'C'/CD.
AD'=x-1, AC=x, CD=1 donc C'D'=1-1/x.

Enfin, BE=BD'+D'C'+C'E donc x=1/x+1-1/x+1/x soit x=1+1/x, x=phi.

Enfin, cos(pi/5)=(BE/2)/BA=x/2=phi/2.