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Méthode pour trigonaliser une matrice

  1. dj_titeuf

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    746

    Question Méthode pour trigonaliser une matrice

    Bonsoir,

    Je viens vous demander votre aide afin que vous m'expliquiez svp comment trigonaliser une matrice, concrètement.

    Par exemple, considérons la matrice suivante:



    Tout d'abord, j'ai déterminé le polynôme caractéristique:



    On en déduit directement que est valeur propre triple de .

    De là, j'ai déterminé le sous-espace propre associé à cette unique valeur propre. Je trouve . J'appelle alors .

    On cherche à présent deux vecteurs et pour compléter afin de constituer une base. (D'ailleurs, une base pour la nouvelle matrice qu'on cherche à obtenir?)

    Pour l'instant, on sait que (la matrice trigonalisée qu'on cherche à avoir) aura la forme:



    Il nous faut donc déterminer , et , ainsi que la matrice de passage. Et c'est là que je ne sais plus comment faire, raisonner...

    En espérant que vous m'aiderez à terminer et à pouvoir appliquer une méthode à tout type de matrice "semblable" à celle-ci, merci d'avance.

    Bonne soirée!

    -----

    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]
     


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  2. Scorp

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    31
    Messages
    1 245

    Re : Méthode pour trigonaliser une matrice

    Tu dois pouvoir déjà prendre b=0 et a=c=1, ca simplifiera les calculs. Apres, l'idée s'est d'écrire les relations que tu as avec tes vecteurs de base.
    Par exemple, tu auras : A.e1=-e1; A.e2=e1-e2 etc...(si tu as pris b=0 etc..., tu vois que ca va être plus simple à résoudre).
    Après, il ya en gros deux méthodes : 1) la méthode bourin, tu résout ton systeme comme tu peux
    2) t'essaye de voir dans quel espace chercher ces vecteurs de bases e1, e2, e3 : Pour cela, tu vas devoir aller chercher les sous espaces A+I, (A+I)² etc... Reporte toi à la méthode dîte de Jordanisation (j'ai fait un topic il y a quelques temps sur ca, chercher le dans ce forum) => Cette méthode est très efficace, mais plus dure à assimiler, avec une bonne partie théorique dernière si on veut généraliser etc...
    Bref, essaye de lire les topics sur le forum et laisse un message s'il y a des choses que tu ne comprends pas.
     

  3. dj_titeuf

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    746

    Re : Méthode pour trigonaliser une matrice

    Mais le but n'est-il pas justement de trouver les trois réels a, b et c?
    La différence entre le génie et la bêtise, c'est que le génie a des limites. [Byrne]
     

  4. Scorp

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    31
    Messages
    1 245

    Re : Méthode pour trigonaliser une matrice

    Non, pas vraiment. Tu as dû remarquer que ces réels n'étaient pas unique. On va donc rapidement pouvoir les imposées. Bien sûr, il y aura quelques conditions à respectées : par exemple, je ne peux pas prendre a=b=c=0. Le plus simple, c'est donc de les prendre comme je les ai indiqué : le problème, ce n'est plus alors de savoir quels sont les réels a, b, c mais plutôt quels sont mes vecteurs de base pour obtenir a=c=1 et b=0 => Les inconnues sont alors e1, e2, e3 ! (c'est un peu comme une diagonalisation : obtenir le spectre est "relativement" facile, mais trouver la matrice de passage, c'est plus dur)
    Rq : on prend souvent a=c=1 et b=0 car on obtient une matrice simple (par exemple, si elle correspond à la résolution d'une équa diff, ca nous fera un systeme plus simple que si on avait pris a, b etc quelconques)

    Regarde ce topic, ca devrait t'aider : http://forums.futura-sciences.com/thread161141.html
     


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