Arithmétique des Polynômes

[fusionfroide]

salut,

Je suis entrain de faire cet exo : déterminer les entiers naturels tels que : divise

je ne vois pas comment commencer. Peut être qu'il faut commencer par factoriser ces deux polynômes non ?






pouvez vous m'aider svp ?

Merci
-----

[rajamia]

salut
pour quoi introduis-tu les complexes tu travailles dans quel ensemble?

[erff]

Tu trouves facilement les racines du "gros" polynome...et tu regarde pr quelles valeurs de n, (1-i*rac(3))/2 et (1+i*rac(3))/2 en font partie...

[fusionfroide]

heu...tout ce qu'il y a dans l'énoncé je l'ai écris. il ne précisent pas l'ensemble sur lequel on travail.

Sinon pour les complexes, c'est le seul moyen pour factoriser ces deux polynomes non ?!

[A voir en vidéo sur Futura]

[rajamia]

alors le prbleme reviendra a chercher les racines niéme d'un complexes et dans ce cas c facile je pense, je me trompe

[fusionfroide]

Tu trouves facilement les racines du "gros" polynome...et tu regarde pr quelles valeurs de n, (1-i*rac(3))/2 et (1+i*rac(3))/2 en font partie...

c'est à dire pour quelle valeurs de n on obtient les même racines ?

[invite1237a629]

Plutôt pour quelles valeurs de n ces deux valeurs font que le polynôme est nul. C'est plus simple de vérifier que de montrer

[fusionfroide]

Plutôt pour quelles valeurs de n ces deux valeurs font que le polynôme est nul. C'est plus simple de vérifier que de montrer

s'il y a une infinité de valeur pour n comment les vérifier ? donc il faut peut être le démontrer non

[rajamia]

le probléme revient à resoudre le systeme

X^n=1/2 -iracine3/2=cos(5pi/3)+sin(5pi/3)
X^n=1/2+i racine3/2=cos(pi/3)+sin(pi/3)

poses X=cos(o)+isin(o) utilises la formules d'euler et continues voila le depart, j'espére qu'il aboutisse

[invitec053041c]

X²+X+1 sent le j à 300 m alentour .

On sait que le complexe j est racine de X²+X+1, donc j²+j+1=0
De plus, j^3=1 (très important)
Maintenant, appelle

En considérant successivement ce que vaut n modulo 3 (0,1 ou 2), regarde quand est-ce que A s'annule (et donc j racine de 1+X^n+X^2n).

Cordialement.

[invite4ef352d8]

en gros ce qu'on te demande c'est "pour qu'elle valur de n j est racine de x^2n+x^n+1.

ie pour qu'elle valeur de n, j^n est racine de x^2+x+1.

et quand tu calcule j^n tu trouve 1,j,j²,1,j,j²,... donc j^n est racines de x²+x+1 si n est congru a 1 ou 2 modulo 3 !

[ericcc]

Une manière de faire : on multiplie (X^2n+X^n+1) par (X^n-1), on trouve X^3n-1. On veut les valeurs de n pour que j et j² soient racines sans être celles de X^n-1.
Donc n doit être congru à 1 ou 2 modulo 3.

[fusionfroide]

il y a un point que je ne comprends pas : pourquoi ici n vaut forcement que 1 ou 2 ou 3 modulo 3 ?

[invite4ef352d8]

"il y a un point que je ne comprends pas : pourquoi ici n vaut forcement que 1 ou 2 ou 3 modulo 3 ?" >>>euh... et bien par le miracle de la division euclidienne n'importe qu'elle entier est congru a 1, a 2 ou a 3 modulo 3 ...

[fusionfroide]

"il y a un point que je ne comprends pas : pourquoi ici n vaut forcement que 1 ou 2 ou 3 modulo 3 ?" >>>euh... et bien par le miracle de la division euclidienne n'importe qu'elle entier est congru a 1, a 2 ou a 3 modulo 3 ...

non c'est bon je ne sais pas pourquoi j'ai posé cette question.

[fusionfroide]

finalement ne s'annule que quand on a non

[invite4ef352d8]

non. quand n est congru a 1 ou 2 modulo 3 (cf les posts précedents)

car les racines de 1+x+x² sont j et j²

[fusionfroide]

non. quand n est congru a 1 ou 2 modulo 3 (cf les posts précedents)

car les racines de 1+x+x² sont j et j²

on a bien :

1 [3] = {1,3,6....}
2 [3] = {2,6,9....}

donc j^6 + j^3 +1 = 0 quand je tape ça avec ma calculatrice ça me donne un nombre complexe et non 0

[invite2e8ce3aa]

Bonsoir,

Nan du tout,
1 [3] ce sont les entiers de la forme 1+3k soit l'ensemble {1,4,7,10,...} Leur reste dans la division euclidienne par 3 est 1

[fusionfroide]

ok merci

en fait pour revenir à la méthode de résolution de cet exo
Pour montrer que divise il suffit de montrer qu'ils ont les même racines.

Est ce que c'est une méthode qui est valable pour tout les polynômes ie si on veut montrer que un polynôme divise l'autre il faut montrer qu'il ont les même racines.