représentation matricielle d'une réflexion ?

Binouze_Flip · 17/01/2008 - 15h21

Bonjour à tous

Mon exercice est le suivant :

On considère les réflexions s et s' par rapport aux plans P et P' respectivement.

Soit D la droite passant par A(0,3,0) et de vecteur directeur $\vec{u}(0,1,-1)$ , P le plan d'équation x+y+z-3=0 et P' le plan dont le repère cartésien est $(A,\vec{u},\vec{v})$ avec $\vec{v}(1,1,1)$ .

1) Vérifier que la droite D est incluse dans P
2) Equation cartésienne de P'? En deduire la représentation matricielle de s'.

1) Il suffit de vérifier que $A \in P$ et $\vec{u} \in \vec{P}$ donc c'est facile

2) Equation cartésienne de P' : 2x-y-z+3 = 0

Ensuite pour trouver la représentation matricielle de s', j'ai en fait chercher d'abord la représentation analytique de s' et en est déduit donc la matrice. J'ai utiliser la caractérisation de la réflexion ie : le milieu de [MM'] appartient à P' et $\vec{MM'} \in \vec{P}$ orthogonal ie : $\exists \lambda \in \mathbb R / \vec{MM'} = \lambda \vec{n}$ où $\vec{n}$ vecteur normal de P'.

Au final je trouve : $M = \frac{1}{3} \left( 1 \ 0 \ 0 \ 0\\ -6\ -1\ 2 \ 2 \\ 3 \ 2 \ 2 \ -1 \\ 3 \ 2 \ -1 \ 2 \right)$

POuvez vous me confirmer ce résultat déja?

Ensuite j'aimerai en fait retrouver ce résultat mais en utilisant cette fois-ci la formule de changement de repère. Pouvez vous m'aider svp?

Merci

Ledescat · 17/01/2008 - 16h07

Bonjour.

Je ne comprends pas pourquoi tu obtiens une matrice 4x4 ?
De plus, les vecteurs ne sont pas unitaires ni orthogonaux entre eux, donc quelque chose ne va pas..

Binouze_Flip · 17/01/2008 - 16h28

Envoyé par Ledescat

Bonjour.

Je ne comprends pas pourquoi tu obtiens une matrice 4x4 ?
De plus, les vecteurs ne sont pas unitaires ni orthogonaux entre eux, donc quelque chose ne va pas..

J'ai oublié de préciser , dans l'exercice on se place dans l'espace affine euclidien de dimension 3, muni d'un ROND $R = (0,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$

ericcc · 17/01/2008 - 16h35

Une méthode simple bien que légèrement calculatoire :
De l'équation du plan, tu déduis les coordonnées du vecteur n normal à P'; ensuite tu dis que u et v sont invariants par ta réflexion, tandis que l'image de n est -n.
Tes équations se résolvent facilement.
Tes résultats sont bons si tu enlèves la première ligne et la première colonne !

Ledescat · 17/01/2008 - 16h35

Envoyé par Binouze_Flip

J'ai oublié de préciser , dans l'exercice on se place dans l'espace affine euclidien de dimension 3, muni d'un ROND $R = (0,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$

D'où ma question à nouveau: pourquoi une matrice 4x4 ?

Binouze_Flip · 17/01/2008 - 16h36

De plus j'ai vérifié que la matrice A associée à l'application linéaire à s' était bien orthogonale : ie tAA = I

donc où est mon problème?

Ledescat · 17/01/2008 - 16h38

Envoyé par Binouze_Flip

De plus j'ai vérifié que la matrice A associée à l'application linéaire à s' était bien orthogonale : ie tAA = I

donc où est mon problème?

Peut-être parcequ'une application affine ne se représente pas sous forme matricielle.

Binouze_Flip · 17/01/2008 - 16h40

Envoyé par Ledescat

D'où ma question à nouveau: pourquoi une matrice 4x4 ?

Mais si j'enlève ma 1ere ligne et ma 1ere colonne, j'obtiens la reflexion vectorielle ? j'ai besoin de ma colonne représentant les coordonnées de f(O) non? je suis perdu du coup..

Binouze_Flip · 17/01/2008 - 16h54

Envoyé par Ledescat

Peut-être parcequ'une application affine ne se représente pas sous forme matricielle.

Bien sur que l'on peut donner une représentation matricielle d'une application affine que je sache lol, du coup on s'écarte du sujet, après vérification je sais que ma matrice est belle et bien correcte quoiqu'on dise

: c'est bien la matrice associée à s' dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ . Mais j'aimerai qu'on m'aide juste pr le faire avec une autre methode qui consiste à faire un changement de repère, on va devoir certainement utiliser le fait que l'on connait comment s'écrit une réflexion dans une ROND non?

Binouze_Flip · 17/01/2008 - 18h52

Envoyé par ericcc

Une méthode simple bien que légèrement calculatoire :
De l'équation du plan, tu déduis les coordonnées du vecteur n normal à P'; ensuite tu dis que u et v sont invariants par ta réflexion, tandis que l'image de n est -n.
Tes équations se résolvent facilement.
Tes résultats sont bons si tu enlèves la première ligne et la première colonne !

Salut Eric

Bon bah malgré que c'est vraiment pas mon truc les changement de repère j'ai réussi et la calculatrice m'a donné le bon calcul matriciel du premier coup .. soulagé.. ouf!

Je rappelle : A(0,3,0) , $\vec{u}(0,1,-1)$ , $\vec{v}(1,1,1)$ et $\vec{w}(2,-1,-1)$

Comme tu me l'as bien écris tout à l'heure, on a : s'(A) = A , $s'(\vec{u}) = \vec{u}$ , $s'(\vec{v}) = \vec{v}$ et $s'(\vec{w}) = -\vec{w}$ . On écrit ainsi la matrice N de s' dans le repère $R' = (A,\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ :

$N = \left( 1 \ 0 \ 0 \ 0 \\ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \\ 3 \ 0 \ 1 \ 0 \\ 0 \ 0 \ 0 \ -1 \right)$

Ensuite j'ai écris la matrice de passage du repère R' dans R , après calcul je trouve que :

$P = \left( 1 \ 0 \ 0 \ 0 \\ 9/2 \ 0 \ 1/2 \ -1/2 \\ 3 \ 1/3 \ 1/3 \ 1/3 \\ -3/2 \ 1/3 \ -1/6 \ -1/6 \right)$ blabla en suite P-1

Conclusion M = P-1 N P et voila