Bonjour, j´ai un problème de démonstration dans un exo. Il s´agit d´une fonction définie comme l´intégrale d´une autre fonction, qui elle dépend d´un paramètre. ou plutôt de 3 paramètres. Mon explication va être assez longue.... mais j´essaie:
f(t,x) = [exp((-t^i) * x)] / (1+ t^j)
et F(x) = intégrale de 0 à l´infini de f(t,x) dt
On précise que i et j, de même que x sont des réels strictement positifs.
Il s´agit de deux questions: discuter selon les valeurs de i et j d´une part la continuité de F d´autre pas sa dérivabilité sur IR+*.
Mais je dois préciser que c´est un exo dans le cadre d´un cours sur les intégrales de lebesque, plus précisément on doit y a étudié les théorèmes sur la continuité et la dérivabilité d´une intégrale dépendant d´un paramètre, ces thérorèmes dérivant directement du Théorème de la Convergence Dominée. Donc il s´agit d´appliquer ces théorèmes. C´est ce que j´ai fait, et je suis arrivé aux conclusions suivantes:
Si j > 1, alors F est continue, si de plus j > 1 + i, alors, F est dérivable.
Le truc qui me chiffonne, c´est que ces deux théorèmes sont des conditions suffisantes, mais pas nécessaires de la continuité / dérivabilité.
Donc pour répondre aux questions de l´exo, il faudrait que je trouve en plus des conditions nécessaires. C´est là que je bloque....
Si vous avez des idées.... Merci d´avance
Christophe
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[? J´ai beau chercher....
Envoyé par christophe_de_Berlin 