K-algèbre

[J.M.M]

Salut,
j'ai trouvé dans un livre de cours
Un K-algebre est associatif si la troisième loi est associative.
or d'apres la definition (A,+,*,.) est une algebre si :

-> (A,+.) est un K-Ev
-> (A,+,*) est un anneau.
et on sait que dans tout anneau la loi * est associative
d'ou la contradiction
est-ce que quelqu'un a une idée?
merci d'avance.

[homotopie]

Dans la définition la plus générale d'une k-algèbre la deuxième loi n'est pas nécessairement associative et donc (A,+,*) n'est pas nécessairement un anneau.
Ex: (O,+,.,x) est une R-algèbre non associative non commutative, o désignant ls octonions
(R³,+,.,^) où ^ désigne le produit vectoriel est une R-algèbre non associative non commutative.

[invite43219988]

Salut,
j'ai trouvé dans un livre de cours
Un K-algebre est associatif si la troisième loi est associative.
or d'apres la definition (A,+,*,.) est une algebre si :

-> (A,+.) est un K-Ev
-> (A,+,*) est un anneau.
et on sait que dans tout anneau la loi * est associative
d'ou la contradiction
est-ce que quelqu'un a une idée?
merci d'avance.

Je capte pas où est le problème.
La troisième loi, c'est .
Donc que * soit associative ou non, on s'en fiche, non ?

[God's Breath]

Je capte pas où est le problème.
La troisième loi, c'est .
Donc que * soit associative ou non, on s'en fiche, non ?

Il y a une confusion dans les notations. La troisième loi ".", c'est la multiplication par les scalaires dans la structure d'espace vectoriel (module), l'associativité n'a aucun sens en ce qui la concerne.

Le problème est bien sur la deuxième loi "*", qui est interne.

Une algèbre, c'est un espace vectoriel (ou plus généralement un module) sur lequel est défini une loi de composition interne qui est une application bilinéaire. On ne demande aucune propriété supplémentaire pour cette loi, associativité, commutativité, élément neutre...

Toutefois, il me semble que la définition proposée par J.M.M a eu cours pendant un certain dans les programmes officiels du Ministère de l'Éducation Nationale, mais a été supprimée parce qu'elle n'était la plus universellement adaptée. Il est possible que certains livres de cours en garde la trace.

[J.M.M]

Grand merci pour tous ces réponses rapides et claires.
pour l'exemple,j'ai rien pigé mdr car je suis en mpsi

[homotopie]

pour l'exemple,j'ai rien pigé mdr car je suis en mpsi

Les octonions, oublie, mais celui avec le produit vectoriel quand même...

[J.M.M]

Les octonions, oublie, mais celui avec le produit vectoriel quand même...

oui oui c ça je parle du premier exemple
le 2eme est simple

[homotopie]

oui oui c ça je parle du premier exemple
le 2eme est simple

Il est suffisant pour comprendre que les propriétés d'une K-algèbre sont déjà bien suffisantes pour être intéressantes sans exiger l'associativité de la 2nde loi interne.