[Stat] Démontrer une égalité

[Bleyblue]

Bonjour,

Si j'ai X1,...,Xn des variables aléatoires indépendantes identiquements distribuées de loi normale et si X et s² désignent les moyennes et variances échantillon je cherche à montrer que :



est égal à :



J'ai bien essayé de développer le carré mais je ne vois pas comment on arrive à faire apparaître un :



Merci
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[invite986312212]

salut,

ça ne dépend pas de la distribution des Xi, et ça s'appelle "théorème d'Huyghens". Tu peux d'ailleurs remplacer $\mu$ par n'importe quelle autre valeur.

[invitebb921944]

Bonjour.
Quand tu développes ton carré, dans le terme en , laisse le tel quel et developpe ce qui reste à développer.

[Bleyblue]

Eh bien ça donne ça :



et en développant j'arrive à simplifier ça un peu mais ça ne donne rien d'intéressant ...


merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

et en développant j'arrive à simplifier ça un peu mais ça ne donne rien d'intéressant ...

C'est une formule barycentrique :

et , donc

[invitebb921944]

Ok j'ai dit des bêtises.
Le but.
En développant complètement ce que tu as dans ta deuxième somme, tu dois obtenir :


Il faut remarquer que
Tu peux donc réécrire :


La tu fais apparaître de la même manière du dans le produit de droite pour ensuite factoriser. Le 1/n devrait se mettre en facteur et la somme qu'il te reste à appliquer devrait te donnr le carré. Je n'ai pas vérifié ça mais je regaderais après manger. Mais à mon avis ça marche !

[invite986312212]

sinon il y a une manière plus expéditive: on se place dans R^n, et on note Y le vecteur de coordonnées (X1,..,Xn), X le vecteur de coordonnées (X,..,X) et le vecteur de coordonnées (j'aurais préféré d'autres notations..). Alors c'est facile de voir que (X-Y) et X sont orthogonaux: le produit scalaire est et donc X est la projection de Y sur la droite vectorielle engendrée par le vecteur (1,...,1) (la diagonale). alors le théorème d'Huyghens n'est qu'une autre expression du théorème de Pythagore:

[Bleyblue]

Ok je vois mieux

merci à tous