nature d'une série de fonction

[invite7b3eba7f]

soit f[0,1]->R, strictement positive et continue .
On pose vn=f(1)*f(1:2)*f(1/3)*.....*f(1/n).
Il faut étudier la nature de la série des vn si f(0) est différent de 1.
J'ai essayé le critère de D'alembert mais on ne connait rien sur la valeur de f(1/(n+1)), hormis qu'il est réel. On ne peut pas non pls majorer vn ni dire qu'elle converge vers 0 ou pas car une fois de plus on ne connait rien sur la valeur des termes. Inutile de dire que le critère spécial ne marche pas .
Je ne sais vraiment pas quoi faire.
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[God's Breath]

soit f[0,1]->R, strictement positive et continue .
On pose vn=f(1)*f(1:2)*f(1/3)*.....*f(1/n).
Il faut étudier la nature de la série des vn si f(0) est différent de 1.
J'ai essayé le critère de D'alembert mais on ne connait rien sur la valeur de f(1/(n+1)), hormis qu'il est réel. On ne peut pas non pls majorer vn ni dire qu'elle converge vers 0 ou pas car une fois de plus on ne connait rien sur la valeur des termes. Inutile de dire que le critère spécial ne marche pas .
Je ne sais vraiment pas quoi faire.

Comme est strictement positive, il en est de même des , et le critère de d'Alembert fonctionne à merveille :
est de limite quand tend vers l'infini, puisque est continue.

Comme est différent de 1, le critère de d'Alembert est concluant.

[invitec053041c]

Il faut pas avoir peur de dire qu'il y a 2 cas, f(0)>1 ou <1 .

[invite7b3eba7f]

Pfff... quelle nouille! merci!
dans le cas ou f(0)>1, je montre que vn est croissante par la même méthode. (vn+1:vn tend vers f(O) strictement supérieur à 1). Mon problème est de montrer qu'elle diverge. Il me semble difficile de minorer cette suite par qqchose qui diverge...J'ai aussi essayé un raisonnement par l'absurde mais c'était foireux.
Je dois ensuite montrer que si f(0)=1 et f'(0)<0, vn converge vers 0 en m'aidant de ln(vn).
Bon, quand j'applique le ln(vn), je me retrouve avec une somme. Si je dérive cette somme, tous les termes constants s'en vont (c'est à dire tous sauf le dernier qui tend vers f'(0)/f(O) * (-1/n^2) et j'en déduis que (vn)'/vn tend vers O ce qui fait que vn est constante et ça n'avance pas grand chose au shcmilblick il doit y avoir une erreur qqpart...

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Je ne comprends plus : le critère de d'Alembert conclut directement suivant la position de la limite de par rapport à 1.
Il n'y a aucun autre travail à faire sur la série...

[invite7b3eba7f]

Hum, il est vrai que je ne suis pas très claire. En fait il s'agit d'autres questions que je n'arrive pas à résoudre : comment montrer que vn diverge si f(0)>1? comment montrer que vn converge vers 0 si f'(0)=1 et f'(0)<1?

[invite7b3eba7f]

pardon, si f(O)=1 et f'(0)<0

[invitec053041c]

comment montrer que vn diverge si f(0)>1

Bon ça déjà, c'est le critère de d'Alembert tout craché.
Bon déjà, on voit bien que pour f(0)=1, on est dans le cas douteux de la règle de d'Alembert, d'où une condition de plus..
Au passage, il aurait été plus propre de dire que f était dérivable avant de parler de f'(0) .

[invitec053041c]

En fait je doute fortement que f(0)=1 et f'(0)<0 donne une convergence.

En effet, si on prend f(x)=1-x, on a vn=(1/2)*(2/3)*...*(n-1)/n=1/n -> série harmonique, divergence !

En revanche,si on prend comme hypothèse f(0)=1 et f'(0)>0, la règle de d'Alembert dit que si le rapport tend vers 1 par valeur supérieure, alors il y a divergence !
Or, avec f(0)=1 et f'(0)>0, alors (en écrivant ce que vaut f'(0), comme limite), on voit qu'il existe un voisinage de 0 où pour tout x, f(x)>f(0)=1, donc f(1/(n+1)) tendrait vers 1 par valeur supérieure, soit une divergence assurée.

[invite7b3eba7f]

Non non, vraiment, l'énoncé précise bien f(0)=1 et f'(0)<0. De plus, ton exemple ne marche pas car tu as oublié le premier terme de la suite, f(1), qui fait que ta suite est nulle. Ensuite je n'ai pas du tout compris comment tu utilisais la dérivée. En quoi le fait que f'(0)>0 te permet de dire qu'il existe un voisinage de 0 ou f(x)>f(0)?
C'est paeut etre bete mais je ne comprends pas! (et merci pour ton aide en tout cas)

[God's Breath]

comment montrer que vn diverge si f(0)>1? comment montrer que vn converge vers 0 si f'(0)=1 et f'(0)<1?

On reprend : *converge vers .

Le critère de d'Alembert fournit immédiatement les résultats suivants :
– si la série de terme général converge ;
– si la série de terme général diverge.

Si et dérivable en 0 avec non nul, alors est équivalent, lorsque tend vers l'infini, à ; donc :
– si , à partir d'un certain rang, on a , soit , la suite croît à partir d'un certain rang, ne peut être de limite nulle, et la série de terme général diverge ;
– si , alors converge vers ; la règle de Raabe-Duhamel assure que la série de terme général diverge pour et converge pour .

Si , il faut des renseignements supplémentaires sur pour conclure.

[invite7b3eba7f]

Si et dérivable en 0 avec non nul, alors est équivalent, lorsque tend vers l'infini, à ; donc :

Tu utilises les acroissements finis?

– si , à partir d'un certain rang, on a , soit , la suite croît à partir d'un certain rang, ne peut être de limite nulle, et la série de terme général diverge ;

pourquoi le fait que cette suite n'a pas de limite nulle entraine qu'elle diverge?

– si , alors converge vers ; la règle de Raabe-Duhamel assure que la série de terme général diverge pour et converge pour .

Si , il faut des renseignements supplémentaires sur pour conclure.[/QUOTE]

[invite7b3eba7f]

L'énoncé précise aussi de s'aider de ln(vn), dans le cas ou f(0)=1 et f'(0)<0, cela pourrait peut etre aider

[God's Breath]

Tu utilises les acroissements finis?

J'utilise la définition de la dérivé en 0 : donc, si , .

pourquoi le fait que cette suite n'a pas de limite nulle entraine qu'elle diverge?

C'est LA condition nécessaire de convergence d'une série : le terme général d'une série convergente est de limite nulle !!!

[invite7b3eba7f]

Merci beaucoup! Je vais essayer de m'en sortir avec ça.

[invite35452583]

EDIT : désolé, grosse bêtise