valeurs et vecteurs propres

[ABN84]

bonjour,
qqun pourrait-il m'expliquer succintement ce que sont les valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice et comment les calculer?
un exemple ne serait pas de refus.
merci
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[pat7111]

Une valeur propre est un scalaire tel qu'il existe un vecteur non nul X tel que . Un tel X est un vecteur propre.

Une maniere differente de voir les choses est soit . Il faut donc que en soit pas inversible pour qu'un tel X existe donc que soit nul.

est le polynome caracteristique et les valeurs propres sont donc ses racines. Une fois qu'on a les valeurs propres, on ecrit et on determine un vecteur non nul pour lequel la relation est verifiee. C'est un vecteur propre.

[ABN84]

merci.
un exemple concret m'aiderait à mieux comprendre la demarche de resolution:
[35 14 2 ]
[ 5 12 25]
[19 10 1 ]
alors si j'ai bien compris:
35*12*lambda^3+14*25*19+2*5*12-2*12*19*lambda-14*5*lambda-25*10*35*lambda=0
420*lambda^3-11556*lambda+6770=0
je resout ça et je trouve les differents lambda? c'est ça?
je viens d'essayer avec maple, il ne trouve de des solutions complexes.

on ecrit et on determine un vecteur non nul pour lequel la relation est verifiee. C'est un vecteur propre.

comment faire?
merci

[pat7111]

Avec ton exemple,



Il faudrait ensuite developper le determinant. Vu l'aspect tres quelconque de la matrice, ce ne doit pas etre la peine de finasser, utilise la methode de Sarrus par exemple.

Tu trouves un polynome de degre 3 dont il faut trouver les racines. Il y en aura au moins une de positive mais c'est bien possible que les deux autres soient complexes.

Desole, je n'ai pas le temps de developper, j'ai cours dans 4 min, je reprendrai le flambeau d'ici une heure si besoin

Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[pat7111]

Ton exemple est vraiment horrible. J'en ai bricole un autre plus simple :



Le polynome caracteristique est



Pour donc n'est pas injective donc : par definition 2; 4 et 6 sont valeurs propres de A.

Vecteur propre associe a 2 : On cherche tel que . On reste calme, on boit un coup et on ecrit le systeme :



Il est clair qu'on a necessairement , le systeme en x et y devient donc

La solution n'est pas unique (car determinant du systeme nul), heureusement sinon ce serait le vecteur nul qui est evidemment solution. L'ensemble des vecteurs propres associes a la valeur propre 2 est la droite vectorielle des vecteurs verifiant x-y= 0 et z=0. On peut en choisir un en particulier, par exemple

Pour se convaincre (et verifier qu'on ne s'est pas trompe dans les calculs), on peut calculer et constater qu'on a

Pour chaque valeur propre, tu fais pareil...

[ABN84]

merci, c'est tres clair.

On reste calme, on boit un coup et on ecrit le systeme

j'aime bien

[pat7111]

Tu trouves un polynome de degre 3 dont il faut trouver les racines. Il y en aura au moins une de positive mais c'est bien possible que les deux autres soient complexes.

Au lieu de positive, il faut evidemment lire reelle