Ellipse et algèbre

[invite4910fcda]

Bonjour.
Dans un topic ou je projetais de trouver l'équation d'une ellipse à partir de trois points et d'un foyer humanino m'a suggeré de passer par un système. Je vous expose mes résultats et j'aimerrais savoir si ils sont faux.
Soient M1, M2 et M3 trois points de l'ellipse dont les coordonnées sont connus. Foit O un foyer connu et le centre du repère et F l'autre foyer. D'après la définition bifocale de l'ellipse, pour tout point M de l'ellipse: OM+FM=k (k réel)

D'où FM²=k²-OM²
En applicant cela:
FM1²-FM2²=(k-OM1)²-(k-OM2)²
(xf-x1)²+(yf-y1)²-(xf-x2)²-(yf-y2)²=(k-OM1)²-(k-OM2)²
(2xf-x1-x2)(x2-x1)+(2yf-y1-y2)(y2-y1)=(2k-OM1-OM2)(OM2-OM1)
2xf(x2-x1)-(x2²-x1²)+2yf(y2-y1)-(y2²-y1²)=2k(OM2-OM1)-(OM2²-OM1²)
2xf(x2-x1)+2yf(y2-y1)-2k(OM2-OM1)=(x1²-x2²)+(y1²-y2²)-(x2²+y2²-x1²-y1²)
xf(x2-x1)+Yf(y2-y1)-2k(OM2-OM1)=0
On refait de même avec les couples (M1,M3) et (M2,M3).
On obtion le système:
xf(x2-x1)+Yf(y2-y1)-2k(OM2-OM1)=0
xf(x3-x1)+Yf(y3-y1)-2k(OM3-OM1)=0
xf(x3-x2)+Yf(y3-y2)-2k(OM3-OM2)=0

On résout par substitution mais sans l'écriture spéciale du forum c'est illisible.
Quelqu'un pourrait l'écrire bien s'il vous plait??
-----

[martini_bird]

Salut,

je récris le système (tu avais laissé un 2):



soit, sous forme matricielle:



Il ne reste plus qu'à diagonaliser le système.

Cordialement.

[invite4910fcda]

Merci martini, mais est-ce correct??

[martini_bird]

Merci martini, mais est-ce correct??

J'ai vérifié tes calculs, ça me semble juste.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4910fcda]

Merci. J'avais peur d'avoir fait une erreur.

[invite4910fcda]

Mince j'arrive pas à résoudre le système j'arrive à:
xf=Ayf+Bk
Yf=Ck
k=Dk

Comment je peux m'en sortir?
Aidez-moi s'il vous plait.

[martini_bird]

Salut,

je n'ai pas compris ton résultat (A, B, C, D sont des constantes?).

Mais tu ne connais pas la méthode du pivot de Gauss?

[invite4910fcda]

Oui ces lettres désignenet des constantes.
Quand à Gauss je ne connait que sont théorème enarithmétique, son pivot non.
Je me disait aussi que ce serait une méthode compliqué.

[martini_bird]

Salut,

la méthode du pivot de Gauss permet de résoudre un système de n équations à n inconnues facilement: elle n'est pas compliquée, tu la comprendras facilement je pense.
Je n'ai pas le temps de l'exposer maintenant, mais si personne ne l'a fait avant moi, je posterai un lien ou la méthode demain.

A+

[invite4910fcda]

http://www.bibmath.net/dico/index.ph...ausspivot.html

J'ai regardé là dessus mais dans leur exemple il y a toujours des constantes à part les coeficient, dans mon système il n'y en a pas. Et c'est censé marcher avec des formes génériques?

[martini_bird]

http://www.bibmath.net/dico/index.ph...ausspivot.html

J'ai regardé là dessus mais dans leur exemple il y a toujours des constantes à part les coeficient, dans mon système il n'y en a pas. Et c'est censé marcher avec des formes génériques?

Salut,
dans ton système, x_F, y_F et k sont les inconnues que tu cherches à déterminer. Toutes les autres grandeurs sont constantes (i.e elles sont déterminées à l'avance): la méthode s'applique tout aussi bien.

J'amorce la méthode: la première opération s'écrit L₂ <- (x₃-x₂)L₁-(x₂-x₁)L₂. Ainsi, la deuxième ligne ne comportera plus l'inconnue x_F:
L₂: [(x₃-x₂)(y₂-y₁)- (x₂-x₁)(y₃-y₂)] y_F + [(x₃-x₂)(OM₁-OM₂)- (x₂-x₁)(OM₂-OM₃)] k=0.

Avec un peu de soin, tu devrais pouvoir aboutir au résultat.

Bons calculs!

[invite4910fcda]

Pas bête! J'avais pas tilté.
Je vais essayer. Résultats: bientôt.

[invite4910fcda]

Bon alors j'ai fait le calcul mais je trouve:
L2 comme tu dis.
Et L3 un truc de la même forme avec des coeficient différents.
Ensuite j'élimine yf dans L3 et je trouve de nouveau constante x k=0
Je crois que ça ne marche pas avec le pivot de Gauss.
Je pense essayer la méthode de Cramer.

[martini_bird]

Je pense essayer la méthode de Cramer.

Ouvrir une noix avec un rouleau-compresseur... Essaie si le coeur t'en dit (à mon avis, ça n'est pas simplissime). Je posterai mes calculs (que je n'ai pas encore fait ) avec le pivot de Gauss dimanche ou lundi.

Cordialement & bon week-end!

[invite4910fcda]

J'ai trouvé un déterminant non-nul (je crois). Maintenant il m'en reste 3 autres à calculer pour avoir les solutions.
Mon résultat tient sur trois lignes.

[invite4910fcda]

Bon alors j'ai introduit un point M4 car dans le système précédant j'ai remarqué que L1-L2=L3

Donc j'ai la matrice:
(x2-x1 y2-y1 OM1-OM2)
A= (x3-x1 y3-y1 OM1-OM3)
(x4-x3 y4-y3 OM3-OM4)

Mon déterminant est

|A|=(x2-x1)[(y3-y1)(OM4-OM3)+(y3-y4)(OM1-OM3)]+(y1-y2)[(x3-x1)(OM4-OM3)+(x3-x4)(OM1-OM3)]+(OM1-OM2)[(x3-x1)(y4-y3)+(x3-x4)(y3-y1)]

Or comme les déterminant de x,y et k sont nul on a qu'une solution triviale.

J'ai eu l'idée que parmi ces points 2 pourraient être confondus et comme le système est homogène il aurait une solution on triviale mais laquelle??

[inviteea95de08]

... sous forme matricielle:



Il ne reste plus qu'à diagonaliser le système.


si Ax=o , alors soit x=0 (xf=yf=k=0), soit A est une matrice singulière .
ici on voit bien que A est cancereuse : 1ère ligne + 2ème = - 3ème. gauss et cramer vont avoir du mal.

[invite4910fcda]

Tu aurais une autre méthode s'il te plait??
Pour la matrice 2x3 j'en ai fait une 3x3 dans mon poste précédant.

[martini_bird]

Salut,

Mon déterminant est
|A|=(x2-x1)[(y3-y1)(OM4-OM3)+(y3-y4)(OM1-OM3)]+(y1-y2)[(x3-x1)(OM4-OM3)+(x3-x4)(OM1-OM3)]+(OM1-OM2)[(x3-x1)(y4-y3)+(x3-x4)(y3-y1)]

Ca, c'est du déterminant!

Or comme les déterminant de x,y et k sont nul on a qu'une solution triviale.

Au contraire: il y a beaucoup plus de solutions (suite au prochain post).

[martini_bird]

si Ax=o , alors soit x=0 (xf=yf=k=0), soit A est une matrice singulière .

xf=yf=k=0 correspond au cercle (F=O): par trois points passe un cercle et un seul.

ici on voit bien que A est cancereuse

Tu y vas un peu fort!

Ceci dit, tu as raison: il n'y a pas une solution unique au problème. En d'autres termes, il manque un paramètre pour déterminer complétement l'ellipse.

Pour autant, du point de vue de l'algèbre linéaire, le système ci-dessus admet des solutions (une droite vectorielle) dont la solution triviale est un cas particulier.

Une petite illustration: étant donnés trois points et un foyer donné (O), plusieurs ellipses sont solutions (j'ai fait le dessin "à main levé").

[martini_bird]

En ce qui concerne la résolution du système: je pose



et A est équivalente à (avec aL₂-a'L₁->L₂; aL₃-a''L₁->L₃):


Puisque a+a'+a''=b+b'+b''=c+c'+c''=0 (comme l'a très pertinemment fait remarquer clide ), le système

admet plusieurs solutions: en introduisant le paramètre t=k (qui reste à déterminer à l'aide d'une autre équation), il vient, en posant

,

et

[martini_bird]

Petite correction pour x_F:



(en supposant a et d non nuls...)

[invite4910fcda]

Ouah, ça c'est du raisonnement! mais ce qu me chifonne c'est le t.
Comme je cherche k comment je peux le connaitre ?
Tu peux m'expliquer s'il te plait ?

[martini_bird]

Comme l'a fait remarquer clide, le problème admet plusieurs solutions: en choisissant un k (grand axe), tu peux déterminer une ellipse.
Celà justifie le paramètre dans la résolution du système (j'ai posé t=k simplement pour souligner que t peut être choisi "au hasard" - le paramètre, c''est k).

Néanmoins, si tu rajoutes une condition supplémentaire (quatrième point, direction de l'axe ou autre...), l'ellipse est déterminée de manière univoque.

Voilà, en espérant que celà ne t'embrouille pas trop...

[invite4910fcda]

Ah d'accord. Pourtant sur ton dessein les ellipses ont toutes deux le même grand axe.

[invite4910fcda]

Par contre je vois pas ce que change le 4eme point.

[martini_bird]

Salut,

en relisant le topic, je me suis aperçu d'un souci relativement sérieux: tu as écrit en #1:

D'après la définition bifocale de l'ellipse, pour tout point M de l'ellipse: OM+FM=k (k réel)

D'où FM²=k²-OM²

Comment expliques-tu la dernière ligne?

Cordialement.

PS: C'est aussi de ma faute: je ne l'avais pas vu avant!

[invite4910fcda]

Non si tu lis après tu verras que c'est une faute de frappe, on utilise
FM²=((k-OM)²

Je persiste il doit y avoir plusieurs solution pour un seul k non?

Mais le coup des 4 pions m'interesse car même si on travaille avec 4 poins on aura toujours un système homogène à 6 équations.

[martini_bird]

Non si tu lis après tu verras que c'est une faute de frappe, on utilise
FM²=((k-OM)²

Ouf, j'ai eu peur!!!

[martini_bird]

Je persiste il doit y avoir plusieurs solution pour un seul k non?

Je ne pense pas: si tu fixes un k, l'équation au-dessus se résout et donne une seule solution pour le second foyer. Ma figure n'est pas juste: c'était simplement pour illustrer, bien qu'elle est finalement porté à confusion...

Mais le coup des 4 pions m'interesse car même si on travaille avec 4 poins on aura toujours un système homogène à 6 équations.

Avec un quatrième point, tu peux remplacer la dernière ligne par une équation indépendante des deux autres

A+