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Ellipse et algèbre



  1. #1
    jdh

    Ellipse et algèbre

    Bonjour.
    Dans un topic ou je projetais de trouver l'équation d'une ellipse à partir de trois points et d'un foyer humanino m'a suggeré de passer par un système. Je vous expose mes résultats et j'aimerrais savoir si ils sont faux.
    Soient M1, M2 et M3 trois points de l'ellipse dont les coordonnées sont connus. Foit O un foyer connu et le centre du repère et F l'autre foyer. D'après la définition bifocale de l'ellipse, pour tout point M de l'ellipse: OM+FM=k (k réel)

    D'où FM²=k²-OM²
    En applicant cela:
    FM1²-FM2²=(k-OM1)²-(k-OM2)²
    (xf-x1)²+(yf-y1)²-(xf-x2)²-(yf-y2)²=(k-OM1)²-(k-OM2)²
    (2xf-x1-x2)(x2-x1)+(2yf-y1-y2)(y2-y1)=(2k-OM1-OM2)(OM2-OM1)
    2xf(x2-x1)-(x2²-x1²)+2yf(y2-y1)-(y2²-y1²)=2k(OM2-OM1)-(OM2²-OM1²)
    2xf(x2-x1)+2yf(y2-y1)-2k(OM2-OM1)=(x1²-x2²)+(y1²-y2²)-(x2²+y2²-x1²-y1²)
    xf(x2-x1)+Yf(y2-y1)-2k(OM2-OM1)=0
    On refait de même avec les couples (M1,M3) et (M2,M3).
    On obtion le système:
    xf(x2-x1)+Yf(y2-y1)-2k(OM2-OM1)=0
    xf(x3-x1)+Yf(y3-y1)-2k(OM3-OM1)=0
    xf(x3-x2)+Yf(y3-y2)-2k(OM3-OM2)=0

    On résout par substitution mais sans l'écriture spéciale du forum c'est illisible.
    Quelqu'un pourrait l'écrire bien s'il vous plait??

    -----


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  3. #2
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    Salut,

    je récris le système (tu avais laissé un 2):



    soit, sous forme matricielle:



    Il ne reste plus qu'à diagonaliser le système.

    Cordialement.

  4. #3
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    Merci martini, mais est-ce correct??

  5. #4
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    Citation Envoyé par jdh
    Merci martini, mais est-ce correct??
    J'ai vérifié tes calculs, ça me semble juste.

  6. #5
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    Merci. J'avais peur d'avoir fait une erreur.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    Mince j'arrive pas à résoudre le système j'arrive à:
    xf=Ayf+Bk
    Yf=Ck
    k=Dk

    Comment je peux m'en sortir?
    Aidez-moi s'il vous plait.

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  10. #7
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    Salut,

    je n'ai pas compris ton résultat (A, B, C, D sont des constantes?).

    Mais tu ne connais pas la méthode du pivot de Gauss?

  11. #8
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    Oui ces lettres désignenet des constantes.
    Quand à Gauss je ne connait que sont théorème enarithmétique, son pivot non.
    Je me disait aussi que ce serait une méthode compliqué.

  12. #9
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    Salut,

    la méthode du pivot de Gauss permet de résoudre un système de n équations à n inconnues facilement: elle n'est pas compliquée, tu la comprendras facilement je pense.
    Je n'ai pas le temps de l'exposer maintenant, mais si personne ne l'a fait avant moi, je posterai un lien ou la méthode demain.

    A+

  13. #10
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    http://www.bibmath.net/dico/index.ph...ausspivot.html

    J'ai regardé là dessus mais dans leur exemple il y a toujours des constantes à part les coeficient, dans mon système il n'y en a pas. Et c'est censé marcher avec des formes génériques?

  14. #11
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    Citation Envoyé par jdh
    http://www.bibmath.net/dico/index.ph...ausspivot.html

    J'ai regardé là dessus mais dans leur exemple il y a toujours des constantes à part les coeficient, dans mon système il n'y en a pas. Et c'est censé marcher avec des formes génériques?
    Salut,
    dans ton système, xF, yF et k sont les inconnues que tu cherches à déterminer. Toutes les autres grandeurs sont constantes (i.e elles sont déterminées à l'avance): la méthode s'applique tout aussi bien.

    J'amorce la méthode: la première opération s'écrit L2 <- (x3-x2)L1-(x2-x1)L2. Ainsi, la deuxième ligne ne comportera plus l'inconnue xF:
    L2: [(x3-x2)(y2-y1)- (x2-x1)(y3-y2)] yF + [(x3-x2)(OM1-OM2)- (x2-x1)(OM2-OM3)] k=0.

    Avec un peu de soin, tu devrais pouvoir aboutir au résultat.

    Bons calculs!

  15. #12
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    Pas bête! J'avais pas tilté.
    Je vais essayer. Résultats: bientôt.

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  17. #13
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    Bon alors j'ai fait le calcul mais je trouve:
    L2 comme tu dis.
    Et L3 un truc de la même forme avec des coeficient différents.
    Ensuite j'élimine yf dans L3 et je trouve de nouveau constante x k=0
    Je crois que ça ne marche pas avec le pivot de Gauss.
    Je pense essayer la méthode de Cramer.

  18. #14
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    Citation Envoyé par jdh
    Je pense essayer la méthode de Cramer.
    Ouvrir une noix avec un rouleau-compresseur... Essaie si le coeur t'en dit (à mon avis, ça n'est pas simplissime). Je posterai mes calculs (que je n'ai pas encore fait ) avec le pivot de Gauss dimanche ou lundi.

    Cordialement & bon week-end!

  19. #15
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    J'ai trouvé un déterminant non-nul (je crois). Maintenant il m'en reste 3 autres à calculer pour avoir les solutions.
    Mon résultat tient sur trois lignes.

  20. #16
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    Bon alors j'ai introduit un point M4 car dans le système précédant j'ai remarqué que L1-L2=L3

    Donc j'ai la matrice:
    (x2-x1 y2-y1 OM1-OM2)
    A= (x3-x1 y3-y1 OM1-OM3)
    (x4-x3 y4-y3 OM3-OM4)

    Mon déterminant est

    |A|=(x2-x1)[(y3-y1)(OM4-OM3)+(y3-y4)(OM1-OM3)]+(y1-y2)[(x3-x1)(OM4-OM3)+(x3-x4)(OM1-OM3)]+(OM1-OM2)[(x3-x1)(y4-y3)+(x3-x4)(y3-y1)]

    Or comme les déterminant de x,y et k sont nul on a qu'une solution triviale.

    J'ai eu l'idée que parmi ces points 2 pourraient être confondus et comme le système est homogène il aurait une solution on triviale mais laquelle??

  21. #17
    clide

    Re : Ellipse et algèbre

    ... sous forme matricielle:



    Il ne reste plus qu'à diagonaliser le système.


    si Ax=o , alors soit x=0 (xf=yf=k=0), soit A est une matrice singulière .
    ici on voit bien que A est cancereuse : 1ère ligne + 2ème = - 3ème. gauss et cramer vont avoir du mal.

  22. #18
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    Tu aurais une autre méthode s'il te plait??
    Pour la matrice 2x3 j'en ai fait une 3x3 dans mon poste précédant.

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  24. #19
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    Salut,

    Citation Envoyé par jdh
    Mon déterminant est
    |A|=(x2-x1)[(y3-y1)(OM4-OM3)+(y3-y4)(OM1-OM3)]+(y1-y2)[(x3-x1)(OM4-OM3)+(x3-x4)(OM1-OM3)]+(OM1-OM2)[(x3-x1)(y4-y3)+(x3-x4)(y3-y1)]
    Ca, c'est du déterminant!

    Citation Envoyé par jdh
    Or comme les déterminant de x,y et k sont nul on a qu'une solution triviale.
    Au contraire: il y a beaucoup plus de solutions (suite au prochain post).

  25. #20
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    Citation Envoyé par clide
    si Ax=o , alors soit x=0 (xf=yf=k=0), soit A est une matrice singulière .
    xf=yf=k=0 correspond au cercle (F=O): par trois points passe un cercle et un seul.

    Citation Envoyé par clide
    ici on voit bien que A est cancereuse
    Tu y vas un peu fort!

    Ceci dit, tu as raison: il n'y a pas une solution unique au problème. En d'autres termes, il manque un paramètre pour déterminer complétement l'ellipse.

    Pour autant, du point de vue de l'algèbre linéaire, le système ci-dessus admet des solutions (une droite vectorielle) dont la solution triviale est un cas particulier.

    Une petite illustration: étant donnés trois points et un foyer donné (O), plusieurs ellipses sont solutions (j'ai fait le dessin "à main levé").
    Images attachées Images attachées

  26. #21
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    En ce qui concerne la résolution du système: je pose



    et A est équivalente à (avec aL2-a'L1->L2; aL3-a''L1->L3):


    Puisque a+a'+a''=b+b'+b''=c+c'+c''=0 (comme l'a très pertinemment fait remarquer clide ), le système

    admet plusieurs solutions: en introduisant le paramètre t=k (qui reste à déterminer à l'aide d'une autre équation), il vient, en posant

    ,

    et


  27. #22
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    Petite correction pour xF:



    (en supposant a et d non nuls...)
    Dernière modification par martini_bird ; 10/01/2005 à 15h24.

  28. #23
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    Ouah, ça c'est du raisonnement! mais ce qu me chifonne c'est le t.
    Comme je cherche k comment je peux le connaitre ?
    Tu peux m'expliquer s'il te plait ?

  29. #24
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    Comme l'a fait remarquer clide, le problème admet plusieurs solutions: en choisissant un k (grand axe), tu peux déterminer une ellipse.
    Celà justifie le paramètre dans la résolution du système (j'ai posé t=k simplement pour souligner que t peut être choisi "au hasard" - le paramètre, c''est k).

    Néanmoins, si tu rajoutes une condition supplémentaire (quatrième point, direction de l'axe ou autre...), l'ellipse est déterminée de manière univoque.

    Voilà, en espérant que celà ne t'embrouille pas trop...

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  31. #25
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    Ah d'accord. Pourtant sur ton dessein les ellipses ont toutes deux le même grand axe.

  32. #26
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    Par contre je vois pas ce que change le 4eme point.

  33. #27
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    Salut,

    en relisant le topic, je me suis aperçu d'un souci relativement sérieux: tu as écrit en #1:

    Citation Envoyé par jdh
    D'après la définition bifocale de l'ellipse, pour tout point M de l'ellipse: OM+FM=k (k réel)

    D'où FM²=k²-OM²
    Comment expliques-tu la dernière ligne?

    Cordialement.

    PS: C'est aussi de ma faute: je ne l'avais pas vu avant!

  34. #28
    jdh

    Re : Ellipse et algèbre

    Non si tu lis après tu verras que c'est une faute de frappe, on utilise
    FM²=((k-OM)²

    Je persiste il doit y avoir plusieurs solution pour un seul k non?

    Mais le coup des 4 pions m'interesse car même si on travaille avec 4 poins on aura toujours un système homogène à 6 équations.

  35. #29
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    Citation Envoyé par jdh
    Non si tu lis après tu verras que c'est une faute de frappe, on utilise
    FM²=((k-OM)²
    Ouf, j'ai eu peur!!!

  36. #30
    martini_bird

    Re : Ellipse et algèbre

    Citation Envoyé par jdh
    Je persiste il doit y avoir plusieurs solution pour un seul k non?
    Je ne pense pas: si tu fixes un k, l'équation au-dessus se résout et donne une seule solution pour le second foyer. Ma figure n'est pas juste: c'était simplement pour illustrer, bien qu'elle est finalement porté à confusion...

    Citation Envoyé par jdh
    Mais le coup des 4 pions m'interesse car même si on travaille avec 4 poins on aura toujours un système homogène à 6 équations.
    Avec un quatrième point, tu peux remplacer la dernière ligne par une équation indépendante des deux autres

    A+

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