Ellipse et algèbre

[invite4910fcda]

Oui j'ai essayé mais je ne vois pas ce que ça change au résultat?
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[martini_bird]

Salut,

avec un quatrième point tu obtiens une matrice du genre:


dont le déterminant est non-nul si M1, M2, M3, M4 sont distincts.

Je ne vois pas ce qui te chiffonnes (je suis peut-être passé à coté de quelque chose).

Bien amicalement.

PS: je cherche une méthode géométrique pour déterminer l'ellipse... Suite au prochain numéro!

[invite4910fcda]

En fait si ça fait qu'il n'y a plus de solutions puisque tu tombe sur une système de la forme:
ax+by+ck=0
b'y+c'k=0
b''y+c''k=0

qui peut se simplifier mais alors il faut réintroduire un paramètre t=k non??
A noter que les coéficients n'ont cette fois rien en commun.

Pour ton déterminant regarde Dx Dy et Dk et tu comprendras le problème je l'ai fait dans un post plus haut!
En remplaçant le ligne des coeficients par les ligne des résultats on a trois déterminants nuls!

[invite4910fcda]

Avec 4 point en partant de ta matrice de ton dernier post:

je donne
( a b c ) (x)
( a' b' c' ) (y) =0
( a'' b'' c'' ) (k)

d'où
( a b c ) (x)
( 0 (ba'-b'a) (ca'-c'a) ) (y) =0
( 0 (ba''-b''a) (ca''-c''a) ) (k)

Donc:

( a b c ) (x)
( 0 (ba'-b'a) (ca'-c'a) ) (y) =0
( 0 (ba''-b''a)(ca'-c'a)-(ba'-b'a)(ca''-c''a) ) (k)


Donc: solution triviale non?

Ou alors je fixe k.

[martini_bird]

Mea culpa, tu as raison!

Pas besoin de quatrième point: mon erreur est d'avoir confondu un problème linéaire (AX=0) avec un problème affine (AX+B=0). Toutes mes excuses.

Etant donné trois points et un foyer, l'ellipse est déterminée univoquement.

Je reprends à tête reposée et je te tiens au courant.

A+

[invite4910fcda]

Pardon mais là je ne comprend pas: c'est un problème linéaire.
Mais il peut y avoir plusieurs solution en fonction de k ça je le sais, je ne sais plus où j'ai vu une méthode ave des hyperboles basés sur 3 points et il y avait plusieurs solutions.

[martini_bird]

Pardon mais là je ne comprend pas: c'est un problème linéaire.

On est d'accord.

Mais il peut y avoir plusieurs solution en fonction de k ça je le sais, je ne sais plus où j'ai vu une méthode ave des hyperboles basés sur 3 points et il y avait plusieurs solutions.

Oui, mais si tu donnes un foyer, il y a au plus deux solutions.

[invite4910fcda]

Et comment on fait pour trouver le foyer et les solutions qui vont avec?

La solution précédente était donc fausse?

[martini_bird]

Et comment on fait pour trouver le foyer et les solutions qui vont avec?

La solution précédente était donc fausse?

Non, je n'ai pas dit ça. Je m'embrouille un peu et je n'ai pas le temps de chercher maintenant.

Mais je prendrai un moment demain ou après-demain pour me pencher sur le problème.

A+

[invite4910fcda]

Je crois avoir trouvé un piste: prendre l'équation cartésienne de l'ellipse, je ve rajouter au système.

[martini_bird]

Salut,

avant de revenir sur la solution utilisant l'algèbre linéaire voici une résolution géométrique.

Dans le plan, on se donne un foyer O, deux points M₁ et M₂ et une longueur k (grand axe).

Le fait essentiel (assez simple à démontrer) est qu'une ellipse de foyers O et F et de grand axe k est le lieu des centres des cercles passant par O et tangents au cercle de centre F et de rayon k. (http://homeomath.imingo.net/ellipse1.htm)

On commence par tracer les cercles de rayon OM₁ et OM₂ passant par O. Puis les cercles de centre M₁ (resp. M₂) de rayon k-OM₁ (resp. k-M₂) (en pointillés sur la figure). Les intersections de ces cercles donnent les deux foyers possibles pour l'ellipse (fig. 1).

Il ne reste plus qu'à tracer les cercles C₁ et C₂ de centre les foyers F₁ et F₂ et de rayon k. (en noir sur la figure fig. 2)

Si on se donne un point M sur C₁, on obtient le centre du cercle tangent à C₁ qui passe par O en considérant l'intersection de la droite (MF₁) et la médiatrice de (OM). Le lieu de ces centres est une des deux ellipses cherchées (fig. 3).

Cordialement.

[invite4910fcda]

Ouah c'est bien pensé!
mais je ne saisi pas pourquoi on trace les cercles de rayon OM1 et OM2?

[martini_bird]

Ouah c'est bien pensé!
mais je ne saisi pas pourquoi on trace les cercles de rayon OM1 et OM2?

Ils ne servent pas à la construction, mais on voit ainsi qu'ils sont tangents à C₁ et C₂ et donc que leurs centres M₁ et M₂ sont bien sur l'ellipse.

[invite4910fcda]

Ok, je pensais aussi que c'était ça mais je voulais être sur d'avoir suivi.
Pour l'algèbre je ne peux pas utiliser l'équation cartésienne de l'élllipse parce-que je ne la connais que pour une ellipse de cente O.
Si d'ailleur tu connaissais les équation cartésiennes des coniques dans n'importe quel sens et n'importe où dans le repère, pourrait tu me les donner?, je ne les trouve pas sur internet et je n'ai pas de livre de géometrie de fac chez moi.