Equation Différentielle par la Transformée de Laplace

[james_83]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème pour l'équation suivante (dans R+) :
y" + a²y = f(t) avec y(0+)=1, y'(0+)=-2.
Pour a strictement positif et f dans L1.
Donc (en mettant des majuscules pour les transformée de Laplace), j'obtiens :
(p² + a²)Y(p) + 2 - p = F(p).
c'est-à-dire P(p)Y(p) - Q(p) = F(p)
Mais là je suis totalement perdu à ce niveau :
je ne sais pas comment définir le domaine d'holomorphie de F... de P, de Y etc.... il y a beaucoup de transformée de Laplace là-dedans !!! et malgré mon cours (où à un moment il faut prendre le sup des abscisses de sommabilité, le sup des parties réelles des poles de P...) je n'y comprends rien !!

Voilà, si quelqu'un peut m'éclairer (n'y allez pas trop fort!! je suis vraiment perdu!!), ça serai sympa, merci!!
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[james_83]

J'ai aussi une autre question, comme f est dans L1, qu'en est-il de sa transformée de Laplace ?

[james_83]

C'est bon j'ai réussi à comprendre mon premier problème, maintenant, la seule chose qui me tracasse, c'est que je ne vois pas où est-ce qu'on utilise le fait que f est L1, comment sa transformée de Laplace est-elle définie ?

[invitec053041c]

Salut.



Le L1 sert à ça j'imagine .

[A voir en vidéo sur Futura]

[james_83]

Salut Ledescat,
Oui mais est-elle bien définie ?
Et quel est le domaine d'holomorphie de cette transformée ?

[God's Breath]

Bonjour james_83 (83 : le département, celui de Ledescat ?)

Salut Ledescat,
Et quel est le domaine d'holomorphie de cette transformée ?

Ledescat est peut-être un peu jeune pour répondre à la question.

Dès que tu as une inégalité valable pour tout , tu définis la transformée de Laplace de par pour tout nombre complexe tel que , et est holomorphe dans le demi-plan ouvert défini par .
On peut alors restituer à partir de par la formule d'inversion de Laplace , où est une droite d'équation avec la seule contrainte .

Dans ton problème, chaque transformée de Laplace , ... a son domaine d'holomorphie, défini par une abscisse , ..., et il suffit d'appeler la plus grande de ces abscisses : toutes tes transformées de Laplace sont holomorphes dans le demi-plan ouvert , et tu peux écrire la formule d'inversion de Laplace en intégrant sur une droite , la condition assurant que cette droite est dans le domaine d'holomorphie de toutes des droites utilisées.

[invitec053041c]

Ledescat est peut-être un peu jeune pour répondre à la question.

Hélas oui .

(et assomé par l'épreuve de maths de ce matin ...)

[james_83]

Bonsoir et merci God's Breath pour ta réponse toujours aussi claire et précise!! et qui m'a bien aidé.

(en effet, avec Ledescat, on est de la même région )

Une dernière question, dans l'énoncé, f est une fonction quelconque de L1 donc je n'ose pas parler de sa Transformée de Laplace... étant donné que je ne peux pas calculer ses abscisses de sommabilité...

[God's Breath]

Une dernière question, dans l'énoncé, f est une fonction quelconque de L1 donc je n'ose pas parler de sa Transformée de Laplace... étant donné que je ne peux pas calculer ses abscisses de sommabilité...

Si est dans , avec , tu as donc dès que .
Tu peux donc assurer l'intégrabilité de , donc l'existence de la transformé de Laplace dans le demi-plan [tex]\mathrm{Re}(p) = s > 0, c'est-à-dire avec l'abscisse de sommabilité .

[james_83]

Oui bien sûr... j'ai compris maintenant!!
Je te remercie pour la rapidité de ta réponse et son efficacité, car maintenant tout est parfaitement clair pour moi.
Merci et bonne soirée.