Un exo vraiment dur (je crois)

[Jeanpaul]

Bonjour à tous les balèzes en maths :

On se donne dans le plan le point O et 3 distances a, b et c.
Comment, avec le compas tout seul construire un triangle équilatéral ABC tel que :
OA = a
OB = b
OC = c ?
Est-ce toujours possible ?
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[invite58081e51]

tu pose ton point O ensuite tu trace un cercle de rayon a un de rayon b et un de rayon c

est ce que tu conne les formules d'Al Kashi je pense que ça pourrai t'aider sachant que tous les angle du triangle font 60degrees

[invite4910fcda]

Impossible!
a moins de savoir tracer des traits droits sans règle pour les côtés.

Par contre je suis du même avis que précédement avec Al-Kashi ça doit marcher.

[Jeanpaul]

Ca commence comme Maxevans mais après c'est très simple et ça tient en quelques lignes sans calculs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

une fois que l'on a tracé les cercles C_A, C_B, C_C de centre O et de rayon a, b, c respectivement, on choisit un point A sur C_A et on trace un arc du cercle de centre A et de rayon a (en bleu). Cet arc coupe C_A en I (et J non représenté). On trace alors un arc du cercle de centre I et de rayon b (en rouge). Si cet arc coupe C_b, alors l'intersection donne une solution pour le point B. Enfin, si le cercle de centre B de rayon BA coupe C_C, on a une solution pour C (en vert).

Sur la figure, c < b < a.

Cordialement.

[Jeanpaul]

Bravo, juste une faute de frappe (mais la figure est juste) : on trace le cercle de centre I et de rayon c (et non b).
Explications : on peut prendre le point A arbitrairement. Alors on voit que le point B s'obtient à partir du point C par rotation de 60° autour de A.
Donc le point B est l'intersection du cercle (O,b) et du cercle (O,c) tourné de 60°.
Le point I est obtenu en faisant tourner le point 0 de 60° (dans l'autre sens, ça donne la même solution symétrique), donc le point B est l'intersection du cercle (O,b) et du cercle (0,c) tourné de 60°.
On a donc 2 cercles de rayons b et c dont les centres sont distants de a. Pour qu'ils se coupent, il faut et il suffit que les distances a, b et c fassent un vrai triangle (chacun inférieur à la somme des 2 autres).
Simple, non ?

[Evil.Saien]

C'est peut etre la bonne méthode, mais comment on est sur que AB = AC ?

[martini_bird]

juste une faute de frappe (mais la figure est juste) : on trace le cercle de centre I et de rayon c (et non b).

Oui, merci.

[Jeanpaul]

Réponse à Evil.Saien : AB = AC parce qu'ils se déduisent l'un de l'autre par une rotation de 60°.

[shokin]

Et comme réaliser un angle de 60° par le biais de trois points équidistants est facilement réalisable !

Shokin

[Evil.Saien]

Réponse à Evil.Saien : AB = AC parce qu'ils se déduisent l'un de l'autre par une rotation de 60°.

Ben dans ce cas comment prouver que l'angle BAC = 60° ?
Ne me réponds pas que c'est parce que ABC est équilatérale, c'est la conclusion ca !

[Jeanpaul]

Regarde bien et trace le cercle de centre I et de rayon c.
Tu verras que le point I, c'est le point O tourné de 60° parce que le triangle AOI est équilatéral.
Le triangle AIB, c'est le triangle AOC tourné de 60° (centre tourné de 60° et même rayon).
Dès lors, AB et AC sont égaux et comme l'angle BAC vaut 60°, c'est un triangle équilatéral.