Enigme de pré carré

[stefgarneret]

On m'a posé un petit problème, genre casse-tête mathématique qui semble simple au premier abord mais qui se révèle difficile. Je rassure le modérateur, j'ai trouvé des posts semblables, y compris sur d'autres sites, mais le pré en question était rond, ce qui change tout à mon histoire, et je décrirai quelques voies de recherche sur lesquelles j'ai échoué

Le problème :
Un fermier a un pré carré de côté 'a', et une chèvre qu'il attache par une corde au milieu d'un des côtés du pré. Quelle doit être la longueur (R) de la corde pour que la chèvre ne mange que la moitié de l'herbe du pré?

Les voies de recherche :
1) Exprimer l'intégrale de l'équation du cercle décrit par R sur les "bornes du champ", disons -a/2 et +a/2 si la chèvre est en 0, mais on se retrouve avec des expressions absolument horribles, genre arctan(R...), et pas moyen d'extraire R de là dedans
2) Faire de la géométrie "de base" en découpant les surfaces en surfaces élémentaires (secteurs de cercles et triangles), mais là il faut exprimer des portions de longueurs en fonction de a et R, et ce n'est pas mieux, je ne trouve que des expressions à rallonge imbuvables,
3) être bon en maths, ce qui n'est pas mon cas.

La petite histoire :
Le gars qui a posé ce probleme à ma collègue l'aurait posé à des polytechniciens (ce qui ne manque pas où je bosse) qui s'y cassaient les dents, mais il est parti à la retraite sans donner la réponse (et on a pas que ça à faire non plus), sauf qu'il aurait dit que la réponse était simple, mais que peu de gens la voyait... C'est peut-être une pure légende... je ne m'avance pas sur cette dernière partie

[martini_bird]

Salut,

par la force brute, on aboutit en quelques minutes à l'équation

.

Solution approchée : .

NB : j'ai pris a=2.

Cordialement.

[leg]

Salut,

par la force brute, on aboutit en quelques minutes à l'équation


NB : j'ai pris a=2.

Cordialement.

bonjour

salut Martini,
moi je divise par 2...car la corde sur laquelle est fixée la biquette est au milieu de la moitié du carré et la corde de la biquette (1/2)/2 soit a / 4

et la biquette est fixée sur une corde de longueur a qui partage la moitié du carré.....

[leg]

et la biquette est fixée sur une corde de longueur a qui partage la moitié du carré.....

disons que pour éviter la flexibilité de la corde a c'est une barre rigide de longueur a....sinon ça va chambrer.....

[stefgarneret]

Interessant, et la Force Brute, elle consiste en quoi? une simple intégration de l'équation du cercle je suppose...

[leg]

Interessant, et la Force Brute, elle consiste en quoi? une simple intégration de l'équation du cercle je suppose...

c'est la formule de la chèvre qui tourne en rond, car elle a trop brouté de cana... dans le pré.

[HigginsVincent]

Je ne sais plus trop exactement le raisonnement que j'ai tenu, mais j'en suis arrivé à résoudre le problème suivant :

Quel est le rayon

R d'un disque ayant la même aire qu'un carré de côté a ?

La réponse est , et on retrouve, pour a=2, quelque chose pas trop éloigné "numériquement" de la solution proposée par Martini, du coup je me demande si les deux problèmes ne sont pas liés d'une quelconque façon ?

[Arkangelsk]

Bonjour,

Pour répondre à la question, tu peux prendre un repère et placer en O l'endroit où la corde est attachée, dessiner l'aire du pré (entre 0 et a, - a/2 et + a/2, par exemple) et l'aire du pré broutée par la chèvre (demi-cercle tronqué par la limite supérieure du pré).

Alors, l'aire broutée est l'intégrale entre 0 et le point d'intersection de l'arc de cercle (d'équation √(L²-x²), avec L la longueur de la corde) et y = a/2. Elle doit être égale à a²/2.

1) Exprimer l'intégrale de l'équation du cercle décrit par R sur les "bornes du champ", disons -a/2 et +a/2 si la chèvre est en 0, mais on se retrouve avec des expressions absolument horribles, genre arctan(R...), et pas moyen d'extraire R de là dedans.

Meuh non (enfin bêêê), pas si horrible que ça, ...

[Arkangelsk]

Oups ...

Alors, l'aire broutée est l'intégrale entre 0 et le point d'intersection de l'arc de cercle (d'équation √(L²-x²), avec L la longueur de la corde) et y = a/2. Elle doit être égale à a²/2.

C'est faux ça. Je m'auto-corrige : cette aire n'est pas l'aire broutée par la chèvre. (Mauvais dessin !)

Donc, revenons à nos moutons, je retourne mon pré. Le pré est maintenant un carré de sommets : S1(-a/2 ; 0), S2(-a/2 ; a), S3(a/2 ; a) et S4(a/2 ; 0). L'origine O est le point d'attache de la corde.

L'aire broutée est donc le double de l'intégrale entre 0 et a/2 de √(l²-x²) dx , où l est la longueur de la corde du caprin.

Je trouve comme expression :

Ce qui semble différent de celle trouvée par martini_bird. Je trouve L = 1,32 comme solution approchée pour a = 2.

Sauf erreur de ma part...

[Thorin]

Il me semble que si on évalue ton expression en l=a/2, on arrive à 0..

De plus, ma gentille calculette confirme la valeur de Martini...

[invite986312212]

on peut simplifier un peu le calcul en dupliquant le pré et en supposant la chèvre attachée au milieu du côté commun aux deux carrés. Si la chèvre était attachée dans un coin, le problème deviendrait très facile: il suffirait de former un grand carré à partir de quatre prés carrés et de supposer la chèvre attachée au milieu. D'ailleurs cette idée est due à Halmos qui propose le même problème mais avec un pré en forme de triangle équilatéral (qu'il groupe par six bien sûr).

[leg]

Oups ...
Ce qui semble différent de celle trouvée par martini_bird. Je trouve L = 1,32 comme solution approchée pour a = 2.

Sauf erreur de ma part...

si le carré est de côté 2 la surface vaut 4 donc l'aire du demi cercle dans le carré ne peut exeder 2, puisque d'après l'énoncé, la chèvre est attachée au milieu d'un côté du carré, le rayon doit correspondre 4/pi = r² et rac de r² = 1.128379...la chèvre ne peut brouter qu'une surface = 2 = 1/2 cercle, dans le carré , et une surface = 2 de l'autre côté du carré, l'autre demi cercle.

[Arkangelsk]

Il me semble que si on évalue ton expression en l=a/2, on arrive à 0..

J'ai oublié un + :



Je vais revérifier tout ça.

[Thorin]

Meme ainsi, sauf erreur de ma part, on trouve que A(a/2)=pi*a²/8, ce qui ne colle pas.

[Arkangelsk]

Meme ainsi, sauf erreur de ma part, on trouve que A(a/2)=pi*a²/8, ce qui ne colle pas.

Et pourquoi donc, qu'aurait-on dû trouver ?