Enigme de pré carré

[invite66bc0767]

On m'a posé un petit problème, genre casse-tête mathématique qui semble simple au premier abord mais qui se révèle difficile. Je rassure le modérateur, j'ai trouvé des posts semblables, y compris sur d'autres sites, mais le pré en question était rond, ce qui change tout à mon histoire, et je décrirai quelques voies de recherche sur lesquelles j'ai échoué

Le problème :
Un fermier a un pré carré de côté 'a', et une chèvre qu'il attache par une corde au milieu d'un des côtés du pré. Quelle doit être la longueur (R) de la corde pour que la chèvre ne mange que la moitié de l'herbe du pré?

Les voies de recherche :
1) Exprimer l'intégrale de l'équation du cercle décrit par R sur les "bornes du champ", disons -a/2 et +a/2 si la chèvre est en 0, mais on se retrouve avec des expressions absolument horribles, genre arctan(R...), et pas moyen d'extraire R de là dedans
2) Faire de la géométrie "de base" en découpant les surfaces en surfaces élémentaires (secteurs de cercles et triangles), mais là il faut exprimer des portions de longueurs en fonction de a et R, et ce n'est pas mieux, je ne trouve que des expressions à rallonge imbuvables,
3) être bon en maths, ce qui n'est pas mon cas.

La petite histoire :
Le gars qui a posé ce probleme à ma collègue l'aurait posé à des polytechniciens (ce qui ne manque pas où je bosse) qui s'y cassaient les dents, mais il est parti à la retraite sans donner la réponse (et on a pas que ça à faire non plus), sauf qu'il aurait dit que la réponse était simple, mais que peu de gens la voyait... C'est peut-être une pure légende... je ne m'avance pas sur cette dernière partie
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[martini_bird]

Salut,

par la force brute, on aboutit en quelques minutes à l'équation

.

Solution approchée : .

NB : j'ai pris a=2.

Cordialement.

[leg]

Salut,

par la force brute, on aboutit en quelques minutes à l'équation


NB : j'ai pris a=2.

Cordialement.

bonjour

salut Martini,
moi je divise par 2...car la corde sur laquelle est fixée la biquette est au milieu de la moitié du carré et la corde de la biquette (1/2)/2 soit a / 4

et la biquette est fixée sur une corde de longueur a qui partage la moitié du carré.....

[leg]

et la biquette est fixée sur une corde de longueur a qui partage la moitié du carré.....

disons que pour éviter la flexibilité de la corde a c'est une barre rigide de longueur a....sinon ça va chambrer.....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite66bc0767]

Interessant, et la Force Brute, elle consiste en quoi? une simple intégration de l'équation du cercle je suppose...

[leg]

Interessant, et la Force Brute, elle consiste en quoi? une simple intégration de l'équation du cercle je suppose...

c'est la formule de la chèvre qui tourne en rond, car elle a trop brouté de cana... dans le pré.

[invitec5eb4b89]

Je ne sais plus trop exactement le raisonnement que j'ai tenu, mais j'en suis arrivé à résoudre le problème suivant :

Quel est le rayon

R d'un disque ayant la même aire qu'un carré de côté a ?

La réponse est , et on retrouve, pour a=2, quelque chose pas trop éloigné "numériquement" de la solution proposée par Martini, du coup je me demande si les deux problèmes ne sont pas liés d'une quelconque façon ?

[Arkangelsk]

Bonjour,

Pour répondre à la question, tu peux prendre un repère et placer en O l'endroit où la corde est attachée, dessiner l'aire du pré (entre 0 et a, - a/2 et + a/2, par exemple) et l'aire du pré broutée par la chèvre (demi-cercle tronqué par la limite supérieure du pré).

Alors, l'aire broutée est l'intégrale entre 0 et le point d'intersection de l'arc de cercle (d'équation √(L²-x²), avec L la longueur de la corde) et y = a/2. Elle doit être égale à a²/2.

1) Exprimer l'intégrale de l'équation du cercle décrit par R sur les "bornes du champ", disons -a/2 et +a/2 si la chèvre est en 0, mais on se retrouve avec des expressions absolument horribles, genre arctan(R...), et pas moyen d'extraire R de là dedans.

Meuh non (enfin bêêê), pas si horrible que ça, ...

[Arkangelsk]

Oups ...

Alors, l'aire broutée est l'intégrale entre 0 et le point d'intersection de l'arc de cercle (d'équation √(L²-x²), avec L la longueur de la corde) et y = a/2. Elle doit être égale à a²/2.

C'est faux ça. Je m'auto-corrige : cette aire n'est pas l'aire broutée par la chèvre. (Mauvais dessin !)

Donc, revenons à nos moutons, je retourne mon pré. Le pré est maintenant un carré de sommets : S1(-a/2 ; 0), S2(-a/2 ; a), S3(a/2 ; a) et S4(a/2 ; 0). L'origine O est le point d'attache de la corde.

L'aire broutée est donc le double de l'intégrale entre 0 et a/2 de √(l²-x²) dx , où l est la longueur de la corde du caprin.

Je trouve comme expression :

Ce qui semble différent de celle trouvée par martini_bird. Je trouve L = 1,32 comme solution approchée pour a = 2.

Sauf erreur de ma part...

[Thorin]

Il me semble que si on évalue ton expression en l=a/2, on arrive à 0..

De plus, ma gentille calculette confirme la valeur de Martini...

[invite986312212]

on peut simplifier un peu le calcul en dupliquant le pré et en supposant la chèvre attachée au milieu du côté commun aux deux carrés. Si la chèvre était attachée dans un coin, le problème deviendrait très facile: il suffirait de former un grand carré à partir de quatre prés carrés et de supposer la chèvre attachée au milieu. D'ailleurs cette idée est due à Halmos qui propose le même problème mais avec un pré en forme de triangle équilatéral (qu'il groupe par six bien sûr).

[leg]

Oups ...
Ce qui semble différent de celle trouvée par martini_bird. Je trouve L = 1,32 comme solution approchée pour a = 2.

Sauf erreur de ma part...

si le carré est de côté 2 la surface vaut 4 donc l'aire du demi cercle dans le carré ne peut exeder 2, puisque d'après l'énoncé, la chèvre est attachée au milieu d'un côté du carré, le rayon doit correspondre 4/pi = r² et rac de r² = 1.128379...la chèvre ne peut brouter qu'une surface = 2 = 1/2 cercle, dans le carré , et une surface = 2 de l'autre côté du carré, l'autre demi cercle.

[Arkangelsk]

Il me semble que si on évalue ton expression en l=a/2, on arrive à 0..

J'ai oublié un + :



Je vais revérifier tout ça.

[Thorin]

Meme ainsi, sauf erreur de ma part, on trouve que A(a/2)=pi*a²/8, ce qui ne colle pas.

[Arkangelsk]

Meme ainsi, sauf erreur de ma part, on trouve que A(a/2)=pi*a²/8, ce qui ne colle pas.

Et pourquoi donc, qu'aurait-on dû trouver ?

[Thorin]

J'ai rien dit

Ma calculette me dit que ton expression est bonne.
En revanche, c'est bien 1,16 la bonne valeur, et non 1,32, puisque si j'évalue ta fonction en 1,32, je tombe sur plus de 2,3...

[God's Breath]

La surface broutée par la chèvre est constituée des deux triangles rectangles AOP et AOQ, de même aire , et du secteur ciculaire d'angle au centre , d'aire .

L'aire broutée est donc .

Le calcul de la longueur de la corde pour que demande la résolution d'une équation transcendante, dont la solution ne s'exprime pas analytiquement à l'aide des seules fonctions usuelles.

[Arkangelsk]

En revanche, c'est bien 1,16 la bonne valeur, et non 1,32, puisque si j'évalue ta fonction en 1,32, je tombe sur plus de 2,3...

Effectivement : La bonne longueur est L = 1,16. J'ai oublié un carré dans ma formule excel .

si le carré est de côté 2 la surface vaut 4 donc l'aire du demi cercle dans le carré ne peut exeder 2, puisque d'après l'énoncé, la chèvre est attachée au milieu d'un côté du carré, le rayon doit correspondre 4/pi = r² et rac de r² = 1.128379...la chèvre ne peut brouter qu'une surface = 2 = 1/2 cercle, dans le carré , et une surface = 2 de l'autre côté du carré, l'autre demi cercle.

Je n'ai pas compris grand chose. Si on prend a = 2, "l'aire du demi-cercle dans le carré" doit être égale à a²/2 = 2 (!).

[DomiM]

Bonjour,

Ne peut pas plutot utiliser S = abc/4R
piR²-S=Les 3 aires des portion de cercles
1/3 de ces portions est celle que l'on cherche car avec elle ont peut trouver la réponse facilement

[leg]

[QUOTE=

Je n'ai pas compris grand chose. Si on prend a = 2, "l'aire du demi-cercle dans le carré" doit être égale à a²/2 = 2 (!).[/QUOTE]

si la chèvre est fixée au milieu d'un des côtés a pour a = 2 elle est donc bien à 1 de chaque extrémité et a 1 du milieu du carré supposons que 1 soit la longueur de sa corde elle ne peut balayer qu'un demi cercle de rayon 1 à l'interieur de ce carré non ? et un demi cercle à l'exterieur du dit carré, l'air des deux demi cercles = pi*r² l'air d'un demi cercle vaut pi/2 pour r=1, non ?

or 3.14.../2 n'est pas la moitié du pré si le côté a = 2
donc prenons un cercle d'air A = 4 un demi cercle = 2, la moitié d'un pré carré de côté a = 2 .
pourquoi ne peut pas attacher la chèvre au milieu du carré ? et qu'elle serait la longueur de la corde pour brouter la moitié de la surface A du carré. c'est à dire un cercle de surface A = 2 donc r = 0.79788......; r² = 0.63661977236...

[DomiM]

Leg tu devrais faire un dessin si l'image du mathématitien envoyé par dieu pour punir les humain ne te suffit pas a comprendre le problème

en plus je suis sur que ma solution et bonne et la plus simple

[leg]

.

petit oubli de ma part si la longueur de la corde est > à 1 il est clair que cette biquette ne peut être fixée au milieu d'un des côté a = 2 car elle brouterra forcément plus de la moitié du carré.
Sauf si la corde =1 et qu'elle coulisse sur une barre de longueur 2 fixée sur l'un des côté du carré

[leg]

Leg tu devrais faire un dessin si l'image du mathématitien envoyé par dieu pour punir les humain ne te suffit pas a comprendre le problème

en plus je suis sur que ma solution et bonne et la plus simple

...........o............. le o représente la corde qui coulisse sur la barre représenter par les ..... dont la longueur a = 2 qui est aussi le côté du pré, la corde tu peux l'imaginer avec des ......... verticale de longueur 1

l'énoncé du problème ne dit pas que la chèvre (ne peut pas se déplacer) de gauche à droite le long du côté du carré ou que la corde ne peut pas coulisser

car si on peut carré un cercle, alors un demi cercle vaut un demi carré de rayon R = 1/2 côté.....?

dieu a envoyé un matheux aveugle...

[DomiM]

Bonjour,

Ne peut pas plutot utiliser S = abc/4R
piR²-S=Les 3 aires des portion de cercles
1/3 de ces portions est celle que l'on cherche car avec elle ont peut trouver la réponse facilement

J'ai fait une erreur mais c'est ratrapable

En reprenant les point p et q de l'image
et avec le point c opposé et equidistant à p et q sur le cercle
S = pqc/4R
Mais

piR²-S=2 aires égales (sae) + celle que l'on cherche (sa)
le rapport entre sae/2 et sa est le même qu'entre pc et pq et doit permetre de trouver sa

[Arkangelsk]

Salut DomiM,

En reprenant les point p et q de l'image
et avec le point c opposé et equidistant à p et q sur le cercle
S = pqc/4R
Mais

piR²-S=2 aires égales (sae) + celle que l'on cherche (sa)
le rapport entre sae/2 et sa est le même qu'entre pc et pq et doit permetre de trouver sa

Est-ce que tu pourrais préciser ce que représentent p, q, c, pc et pq ?

Le point C est-il bien l'intersection de l'arc de cercle et de la droite d'équation x = 0 ?

[DomiM]

Bonsoir ArkAngelsk

le point c est à l'opposé à p et Q sur le cercle de l'image :
http://forums.futura-sciences.com/at...3&d=1222706840

on ne peut donc pas le voir car le cercle n'est pas complet

[DomiM]

Est-ce que tu pourrais préciser ce que représentent pc et pq ?

pc est la norme du vecteur pc et pq la norme du vecteur pq

[Arkangelsk]

le point c est à l'opposé à p et Q sur le cercle de l'image :
http://forums.futura-sciences.com/at...3&d=1222706840

on ne peut donc pas le voir car le cercle n'est pas complet

J'ai encore du mal à voir comment le point C peut être à la fois à l'opposé de P et de Q (O milieu de [PC] et de [QC] à la fois ?), sur le cercle.

En reprenant les point p et q de l'image
et avec le point c opposé et equidistant à p et q sur le cercle
S = pqc/4R

Que représentent la surface S et "pqc" dans l'expression de S ? Je ne comprends pas très bien S = pqc/4R (?)

[DomiM]

[QUOTE=Arkangelsk;1910680]J'ai encore du mal à voir comment le point C peut être à la fois à l'opposé de P et de Q (O milieu de [PC] et de [QC] à la fois ?), sur le cercle.

ALors trace une droite entre p et q puis une perpandiculaire à cette droite passant par le mileu de p et q
le point c est l'intersection
de cette droite avec le cercle (il y en a 2) telle que le centre O soit entre c et le millieu de p et q

Que représentent la surface S et "pqc" dans l'expression de S ? Je ne comprends pas très bien S = pqc/4R (?)

c'est une formule qui permet de calculer la surface S d'un triangle dont les 3 points (pqc) sont sur un cercle de rayon R

mais en fait dans la formule pqc/4R
p q et c sont les mesures des cotés du triangle

C'est vrai que j'ai un peu abrégé

[leg]

[QUOTE=DomiM;
C'est vrai que j'ai un peu abrégé[/QUOTE]

Domi la réponse à ce problème est simple en principe, ce ne peut être une formule qui ne pourra donner, qu'une surface approchée de la moitié du pré

donc la réponse est dans l'énoncé: [la chèvre est attachée à une corde au milieu d'un des côté du carré !] elle doit manger la moitié ni plus ni moins.

c'est plus une devinette qu'une formule mathématique qui ne peut rien résoudre
et dieu n'avait pas besoin d'envoyer un matheu avec une bonne vue pour cogner sur les polytechniciens....