Bonsoir à tous !
Voilà j'ai un exercice sur les séries et j'ai de petites idées sur la manière à adopter pour répondre aux questions, mais je ne suis pas sûr que ce soi judicieux (et même tout simplement bon^^)
Voilà l'énoncé :
Le but final de l'exercice est de calculer la somme de la série Σ n≥1 1/n² . Pour tout entier n≥1, on pose Sn = Σ (k de 1 à n) 1/n²
1) On pose n∈N, Wn = ∫ (de 0 à pi/2) cos^2n t dt.
Montrer que : ∨n∈N, (2n+2) Wn+1 = (2n+1) Wn
=> Je pensais faire une itération ?
2) Pour n∈N, on considère Jn = ∫ (de 0 à pi/2) t² cos^2n t dt.
(a) Calculer W(0), J(0). On admettra que : ∨n∈N, Wn > 0
=> Ca semble plutôt simple
(b) Montrer à l'aide d'une intégration par parties que :
∨n∈N, Jn+1 - Jn = (-1/2n+1) Jn+1 - (2/2n+1) ∫ (de 0 à pi/2) t sint cos^2n+1 t dt.
=> Normalement, les intégrations par parties ne sont pas trsè compliquées
(c) En déduire que Jn+1 (2n+2/2n+1) - Jn = (-2/(2n+1)(2n+2)) Wn+1
=> Là je ne vois pas comment on peut simplifier : ∫ (de 0 à pi/2) t sint cos^2n+1 t dt. (car c'est un produit dans l'intégrale... Peut-être une formule de trigo ?)
(d) Montrer que ∨n∈N, Jn+1/Wn+1 - Jn/Wn = -1 / 2(n+1)²
=> Faut-il se servir de la relation que l'on obtient en (c) ?
(e) En déduire une expression de Sn en fonction de Jn/Wn
=> Je pensais utiliser le lien suite-série ?
4) (a) Démontrer que ∨t∈ [0;pi/2], t <= pi/2 sint
=> Je pars de l'encadrement 0 <= t <= pi/2
(b) En déduire que 0 <= Jn <= (pi)² * Wn) / 8(n+1)
=> On intègre l'inégalité suivante ?
(c) Justifier la convergence de la série Σ n≥1 1/n² et déterminer la valeur de Σ (n allant de 1 à + l'infini) 1/n²
Voilà, c'est vrai que ça semble fastidieux, notamment de par mon écriture mathématique (désolé je n'ai pas Latex) mais si vous pouviez m'aider un petit peu, ou juste me signaler si les pistes que j'ai indiquées sont fausses et/ou pas très judicieuses
Merci à tous !
ZimbAbwé
-----
Envoyé par ZimbAbwé 
