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espace vectoriel normé dimension finie

  1. clemarfilch

    Date d'inscription
    octobre 2008
    Localisation
    Nancy
    Âge
    24
    Messages
    15

    espace vectoriel normé dimension finie

    Bonjour,
    je vous donne mon l'énoncé:

    Soit (E, ||.||) un espace vectoriel normé de dimension finie.
    1) Montrer que tout sous-espace vectoriel F de E est fermé dans E.
    2) Montrer que E est le seul sous-espace vectoriel de E qui soit ouvert.

    Est ce que je peux faire :
    1) Tous sous espace vectoriel F de E est borné par E donc peut être inclus dans une boule de centre x appartenant à F et de rayon r>0. La boule est inclus dans E, F est fermé dans E.

    2) même raisonnement, E ne peut pas être inclus dans la boule de centre x app à E et de rayon r>0.


    Dans mes lectures sur le net, on parle plutôt de passer par les compacts d'un espace vectoriel de dimension finie. Mais je vois pas en quoi on en déduit que tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normé est fermé.

    Merci à ceux qui seront ma lumière!


     


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  2. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    8 785

    Re : espace vectoriel normé dimension finie

    Un sous-espace vectoriel non réduit à contient des droites... et sera donc difficilement borné.

    Il est plus simple de considérer une suite convergente quelconque , de limite et de prouver que :
    si cette suite est à valeurs dans , alors est élément de .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     


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