Série entière : domaine de convergence

[invite1ae5c4cb]

Bonjour !
Pourriez-vous m'éclairer sur un point de mon cours ?

On s'intéresse à la série entière de terme général : (z^n)/(n^a)
On sait qu'elle converge absolument pour lzl<1 et diverge pour lzl>1
donc son rayon de convergence est R=1
On s'intéresse au cas où 0<a<=1 et on conclut que la série est semi convergente pour ce "a" et que le domaine de convergence est le disque fermé de centre 0 et de rayon 1 privé de 1.

Ma question : que signifie privé de 1 et pourquoi ???

Merci pour toutes vos réponses !
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[Jeanpaul]

Si z vaut 1 la série ne converge pas, elle est supérieure à la série harmonique 1/k.
Si z >1 alors le terme général ne tend pas vers zéro.

[invite1ae5c4cb]

Dsl je ne comprend pas...

Dans l'exemple, on considère que lzl=1,
pour le cas a>1 : il y a convergence normale

pour le cas a<=0 : il y a divergence

pour 0<a<=1 : il y a semi-convergence en tout point du cercle unité sauf en 1.

Je ne comprend pas pourquoi ça ne converge pas en 1.

Pour savoir si ça converge, on écrit: lz^n/n^al = 1/lnl^a
il faut déterminer si ça tend vers 0 pour 0<a<=1 et c'est le cas, non ?
Merci pour ton aide !!!!

[Jeanpaul]

Je ne comprend pas pourquoi ça ne converge pas en 1.

Il s'agit bien de z = le réel 1 ?
Si a=1 on a la série harmonique en 1/n qui diverge et si a<1 c'est encore pire.

[A voir en vidéo sur Futura]