rayon de convergence (série entière)

nabbla · 06/08/2004 - 15h18

bonjour à tous,
aujourd'hui je révise le rayon de convergence des séries entières,
avant de vous demander de l'aide sur certains exo ou je bloc, j'aimerai quelque renseignement sur la régle de d'Alembert.

En effet je vient de voir sur un site de maths que sur un exercice où l'on doit trouver le rayon de convergence, ils appliquent la régle de d'Alembert de la facon suivante :

on suppose la série de terme générale a_n xⁿ

eux il font a_n /a_n+1
alors que j'ai appris a faire a_n+1 /a_n

j'ai essayer sur un exemple et le résultat et le même, mais pourquoi?

doryphore · 06/08/2004 - 15h27

Parce que dans ton exemple la limite c'est 1.
Donc $\lim a_{n} = \lim a_{n+1}$

nabbla · 06/08/2004 - 15h32

d'accord mais est ce valable pour toute série?

doryphore · 06/08/2004 - 15h36

Non, dès que le rayon de convergence est différent de 1, ça ne marche plus.

Enfin, si ce que tu cherches, c'est le rayon de convergence, n'oublie pas que dans ton cours, le rayon de convergence est l'inverse de la limite que tu obtiens.

Je suppose que sur le site que tu as consulté, il n'y a aucune référence à un quelconque inverse.

nabbla · 06/08/2004 - 15h40

non aucune référence à cela.
merci de ton aide.
à plus

Stephen · 06/08/2004 - 15h43

Envoyé par nabbla

[...]

Tout ça c'est vieux pour moi, mais de mémoire le critère de d'Alembert te donne la convergence ou la divergence en comparant $R = lim \frac{a_{n+1}}{a_n}$ à 1. Je vois pas où est le blème : si tu inverses le rapport dont tu calcules la limite, tu intervertis les inégalités dans le test de convergence.

doryphore · 06/08/2004 - 16h05

Le rayon de convergence, c'est le supremum de l'ensemble des r positif tels que la suite (| $a_{n}r^{n}$ |) est bornée.

La règle de Cauchy donnant de manière naturelle l'inverse du rayon de convergence, je suppose que certains manuels ont choisi de faire étudier la limite de | $a_{n} / a_{n+1}$ | dans la règle de D'Alembert pour des raisons pédagogiques.

nabbla · 11/08/2004 - 14h39

Bonjour,
je doit étudier le rayon de convergence de la série de terme générale Un = cos(n) x^n.
Mais je ne voit pas comment mis prendre de ce cas.
Quelqu'un aurai une idée?merci.

Quinto · 11/08/2004 - 15h16

On a un théorème assez simple, d'ailleurs est ce vraiment un théorème?...
Qui nous dit que si une série converge son terme général tend vers 0.

Si ta série converge, alors il faut que |x| soit strictement inférieur à 1.
Réciproquement si |x|<1 comme |cos(n)|<1 pour tout n>0, on a alors
|x^ncos(n)|<|x|^n