Exercice sur les courbes planes

Bruno0693 · 29/12/2008 - 18h33

Bonjour,

J'ai un gros problème de compréhension avec l'exercice suivant :

Soit f : R --> R^2 une application lisse dont l'image $\Gamma$ est incluse dans la cubique cuspidale C := { $(x,y) \in R^2, y^2 = x^3$ }. Montrer qu'on a nécessairement f'(0) = 0.

Je ne comprends rien à l'énoncé : $\Gamma$ est une courbe incluse dans une courbe ?? Pourquoi n'étudie-t-on donc pas directement la cubique cuspidale et passe-t-on par $\Gamma$ ?

Ensuite, comment faire, à partir des données de l'énoncé pour calculer f'(0) ?

Pourriez-vous m'expliquer tout cela précisément ? Je nage complètement.

Merci d'avance.
Bruno.

sadben2004 · 29/12/2008 - 21h48

Est ce qu'on impose f(0) = (0 0) ?

Sinon pour repondre a ta question, la courbe C n'est pas celle d'une fonction (2 valeurs de y possible pour x donnée) , On peut étudier des tranches de la courbe C (tg en tout point ...etc), mais une tranche autour de (0,0) causera probleme.

Au vosinage de zero on passe par une parametrisation de la courbe C qui est f

Bruno0693 · 29/12/2008 - 23h05

Merci beaucoup pour ta réponse, Sabden.

Envoyé par sadben2004

Est ce qu'on impose f(0) = (0 0) ?

Ce n'est pas indiqué dans l'énoncé mais, quelqu'un à qui j'ai montré l'exo m'a dit que cette condition manquait. (Le prof nous a dit qu'il pouvait y avoir des coquilles dans son cours).

Pourrais-tu m'expliquer en détail pourquoi il faut cette condition ?

Sinon pour repondre a ta question, la courbe C n'est pas celle d'une fonction (2 valeurs de y possible pour x donnée) , On peut étudier des tranches de la courbe C (tg en tout point ...etc), mais une tranche autour de (0,0) causera probleme.

Au vosinage de zero on passe par une parametrisation de la courbe C qui est f

Je crois que je comprends un peu mieux : c'est comme si on avait un cercle $X^2 + Y^2 = 1$ : ce n'est pas là non plus une fonction et on aurait le même problème si on voulait l'étudier au voisinage de $(1,0)$ ou $(-1,0)$ : on est alors obligé de passer par une paramétrisation : c'est bien ça ?

Pour revenir à ma courbe : $y^2 = x^3$ . Si je comprends bien, on cherche donc à l'étudier au voisinage de (0,0). Donc, il nous faut une paramétrisation de C.

Comment trouver cette paramétrisation ?

Voilà, par exemple, trois paramétrisations possibles :

I) $t \mapsto f(t) = (t, \sqrt{t^3}) \cup t \mapsto f(t)= (t, - \sqrt{t^3})$

II) $f(t) =(t^2, t^3)$

III) $f(t)= ((t+1)^2, (t+1)^3)$

Je remarque que seule les paramétrisations I et II sont telles que f(0) = (0,0).

Comment cela se fait-il ? C'est pourtant la même courbe qui est décrite à chaque fois. Est-ce que tu pourrais m'expliquer cela ?

Merci.

sadben2004 · 29/12/2008 - 23h13

Tu as tout compris !

En fait pour chaque parametrisation, à une valeur de t correspond un points de la courbe, le choix du point qui correspond à t=0 est totalement arbitraire. L'important est que que quand t decrit R, (x(t), y(t)) se deplace sur la courbe.

Bruno0693 · 30/12/2008 - 00h56

Ok. Merci.

Encore une chose que j'ai du mal à comprendre :

On choisit donc une paramétrisation f de la cuspide telle que f est lisse et f(0)=(0,0) ; on doit alors avoir f ' (0) = (0,0).

Si je choisis la paramétrisation : $f(t) =(t^2,t^3)$ , il n'y a pas de problème : $f'(t) = (2t, 3t^2)$ et f ' (0) = 0.

Prenons à présent la paramétrisation : $f(t) = (t, \sqrt{t^3}) \cup g(t) = (t, -\sqrt{t^3})$

On a bien affaire à une paramétrisation lisse et telle que f(0) = 0 = g(0). Pourtant, on voit que : $f'(t) = (1, \frac{3}{2}\sqrt{t})$ , $g'(t) = (1, -\frac{3}{2}\sqrt{t})$ et f '(0) = (1,0) = g'(0).

Pourquoi, dans ce dernier cas, bien qu'on ait une paramétrisation lisse telle que f(0) = 0, on n'a pas f '(0) = 0 ?? Comment se fait-il qu'on obtienne des informations différentes au point (0,0) avec deux paramétrisations nulle à l'origine ?