demonstration noyau d'un morphisme de groupe

[invite77420056]

bonsoir a tous.je vous expose mon probleme.il me faut demontrer que pour tout morphisme f du groupe G dans le groupe G'.ker f est un sous groupe de G .et ker f ={e} si et seulement si f est injective.pour montrer que ker f est un sous groupe de G pas de probleme.mais c'est lors de la demonstration de ker f = {e} si et seulemnt si f est injective qui me pose probleme.en effet voila ce qu'ils disent dans la demonstration: "si f est injectif pour tout x appartient a ker f f(x)=e'=f(e) donc x=e alor ker f ={e}. reciproquement si ker f = {e} soi (x,y) appartien à G2 tel que f(x)=f(y) alor f(x)f(y)^-1=e' d'ou f(xy^-1)=e' d'ou xy^-1 appartien a ker f d'ou xy^-1 = e donc x=y f est injective".ce que je n'arrive pas a comprendre c' est pourquoi x=e et pourquoi si f(x)=f(y) alor f(x)f(y)^-1=e' d'ou f(xy^-1)=e'.j'espere que vous pourrez m'aidez.merci d'avances pour vos reponses.
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[Flyingsquirrel]

Salut !

ce que je n'arrive pas a comprendre c' est pourquoi x=e

Parce que comme est injectif, l'égalité implique .

et pourquoi si f(x)=f(y) alor f(x)f(y)^-1=e' d'ou f(xy^-1)=e'.

Le passage de la première à la seconde égalité se fait en multipliant à droite par l'inverse de qui est .

Le passage de la seconde égalité à la troisième fait appel aux propriétés des morphismes de groupe : donc .

[Thorin]

Pourquoi x=e ?
Parce que on a comme égalité, juste avant :
Or , par définition de l'injectivité implique .

Deuxième question, maintenant.
Si f(x)=f(y), alors, en multipliant des deux côtés par l'inverse de f(y), on a bien f(x)f(y)^-1=e'.
ensuite, comme f est un morphisme, on a la propriété f(y^1)=f(y)^-1
ensuite, comme est un morphisme, on a donc f(x)f(y)^1=f(x)f(y^-1)=f(xy^-1), tout ça étant égal à e'.

[invite77420056]

mais pourquoi on a e'?je comprend pas la .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ffe9b6a]

Supposons f injective.

soit x dans ker f. alors f(x)=e'

(Le noyau contient les elements qui sont envoye sur le neutre de G')

Or f(e)=e' (dans un morphisme de groupe le neutre et envoye sur le neutre)

donc f(e)=f(x)

mais comme f injective, cela implique que x=e.

donc ker(f)={e}. (on a prit un element dedans ,on a montre que c'etais forcement e donc c'est le seul)

[Thorin]

Je pense que john35 a un problème avec le fait que dans le monde des x et des y, c'est e qui règne, et dans le monde des f(x) et f(y), c'est e' qui règne...

[invite77420056]

la on à e' parce que on suppose que f est injective mais moi je parle de la reciproque(pour montrer que f est injective) et c'est la que le e' intervient et je sais pâs pourquoi

[invite7ffe9b6a]

Je pense que john35 a un problème avec le fait que dans le monde des x et des y, c'est e qui règne, et dans le monde des f(x) et f(y), c'est e' qui règne...

En l'occurance il régne pas , ils font rien....
Si on leur met une structure d'anneaux , alors là ils absorbent tout par contre...

[invite7ffe9b6a]

j'appele la loi de G
la loi de G'

supposons ker (f)={e}
Soit x, y dans G tels que f(x)=f(y) alors



car l'inverse composé avec l'element fait le neutre toujours (par definition de l'inverse)

donc


donc

donc x=y

[invite77420056]

ok je vois mieux tout de suite .donc en fait si jai bien compris si on a f(x)f(y)^-1=e' c parce que linverse composé avec l'element donne le neutre dapres la definition.et aussi parce que on a f(e)=e'.c'est ca non?

[invite7ffe9b6a]

On f(x)=f(y) donc



et ensuite



(car element *inverse = neutre)

(on a toujours f(e)=e' mais pour ces deux étapes là on s'en fout)

Ensuite

On a donc montré



donc

est envoyé sur le neutre de G'.
Donc par définition



or on a supposé que ker(f) avait un seul élement e.

donc



et en composant à droite par y



soit



et comme le neutre change rien

[invite77420056]

merci mais je disai comme toi element* inverse=neutre.merci quand meme bcp.

[invite77420056]

pourquoi x*y^-1 est envoyer sur le neutre de G' et donc par definition x*y^-1 appartient a ker f????

[invite77420056]

est envoyé sur le neutre de G'.
Donc par définition



pourquoi on ca en fait???

[invite7ffe9b6a]

f:G--->G' un morphisme de groupe. e le neutre de G, e' le neutre de G'
alors



on définit le noyau comme cela

[invite77420056]

est envoyé sur le neutre de G'. la je vois pas du tout ce que ca veut dire ca

[invite7ffe9b6a]

ha j'ai voulu dire par

est envoyé sur le neutre de G'


que