Factorisation de X^4+1

invite71b82f91 · 03/01/2009, 18h28

Bonjour, le titre résume ma question, comment factoriser X^4+1 en produit de polynômes irréductibles de R[X]. C'est une question basique mais j'avoue avoir vraiment du mal avec ce chapitre...
Merci par avance de vos réponses
A bientôt

invitece2661ac · 03/01/2009, 18h33

bonjour

x^4 + 1 = x^4 +2.x^2+ 1 - 2.x^2
= ( x^2 + 1) ^2 - 2.x^2
= ( x^2 + 1+x.racine(2)).( x^2 + 1-x.racine(2)).

invite0387e752 · 03/01/2009, 18h36

dans ce genre de situation tu peux faire facilement ta factorisation sur C[X] et tu te ramènes sur R[X] aussi facilement

invite71b82f91 · 03/01/2009, 18h53

Merci, par contre je ne vois pas comment on fait pour passer par les complexes.
j'ai fait :
X^4+1= (X²+i)(X²-i)
et ensuite je suis bloqué... Je sais, je suis trèèèès lourd sur ce chapitre!

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**krikor** · 03/01/2009, 19h34

Bonsoir!

Factorisation de X^4+1=(x²+1+x√2)(x²+1-x√2)

invite71b82f91 · 04/01/2009, 09h34

J'ai compris cette méthode mais est ce que quelqu'un pourrait m'éclairer, s'il vous plait, sur la méthode à utiliser avec les complexes?
Merci pour vos réponses!
A bientôt

**Médiat** · 04/01/2009, 09h46

Envoyé par PPE2008

J'ai compris cette méthode mais est ce que quelqu'un pourrait m'éclairer, s'il vous plait, sur la méthode à utiliser avec les complexes?
Merci pour vos réponses!
A bientôt

Il faut factoriser dans $\text{[math]}$ les deux polynômes (X² - i) et (X² + i).
Pour ce faire, il faut calculer les "racines" de i et -i qui sont $\text{[math]}$ en regroupant correctement tes 4 facteurs du premier degré (à coefficient dans $\text{[math]}$ ) en deux groupes de 2, tu obtiendras deux facteurs du second degré à coefficient dans $\text{[math]}$ .

invite71b82f91 · 04/01/2009, 10h26

Envoyé par Médiat

Il faut factoriser dans $\text{[math]}$ les deux polynômes (X² - i) et (X² + i).
Pour ce faire, il faut calculer les "racines" de i et -i qui sont $\text{[math]}$ en regroupant correctement tes 4 facteurs du premier degré (à coefficient dans $\text{[math]}$ ) en deux groupes de 2, tu obtiendras deux facteurs du second degré à coefficient dans $\text{[math]}$ .

D'accord, mais comment trouve-t-on les racines de i et -i s'il vous plait?

invite71b82f91 · 04/01/2009, 10h34

C'est bon j'ai trouvé...Mais c'est Racine(2)/2(+-)iRacine(2)/2 non?

invitec053041c · 04/01/2009, 11h38

Salut,
Oui ce sont bien des racine(2)/2.

invite7eb38865 · 04/01/2009, 12h00

pour trouver "facilement" les racines en complexe, passe sous la forme exponentielle complexe.
On prend la racine du module (les deux, positive et négative) et la moitié de l'angle :]

Tu redevellopes, et hop !

**Médiat** · 04/01/2009, 12h07

Envoyé par Ledescat

Salut,
Oui ce sont bien des racine(2)/2.

Je confirme, bug d'écriture

.

invite71b82f91 · 04/01/2009, 14h05

Ok, merci à tous! Bonne continuation
A bientôt!

Factorisation de X^4+1

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