Interêt d'une vision ensembliste

[invite6754323456711]

Bonjour,

Quel est l'apport d'une vision ensembliste ?

Une fois que l'on a identifié qu'un ensemble E à une structure algébrique on profite des propriétés génériques de cette structure. Par exemple les nombres complexe, les matrices ont une structure d'espace vectoriel. Le fait qu'un espace vectoriel est un groupe commutatif pour l'addition, toutes les propriétés de groupe s'appliquent intégralement à un espace vectoriel.

Quand est il des ensembles si tout est ensemble ? Quel est l'intérêt d'une telle approche ?

Patrick
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[invite7863222222222]

Bonjour,

moi ce qui me trouble c'est que si tout est ensemble alors dans l'ensemble vide, il ne peut y avoir qu'ensemble or c'est pas vrai dans l'ensemble vide il y a "rien". Mais cela est propre, je pense, aux mathématiques qui ne peuvent pas toujours être exprimées tout à fait parfaitement avec des mots.

Sinon, j'imagine que le but c'est de regrouper des objets mathématiques afin de travailler avec eux plus ou moins comme s'il s'agissait par exemple de pleins de petites billes.

[invite6754323456711]

Bonjour,

moi ce qui me trouble c'est que si tout est ensemble alors dans l'ensemble vide, il ne peut y avoir qu'ensemble or c'est pas vrai dans l'ensemble vide il y a "rien". Mais cela est propre, je pense, aux mathématiques qui ne peuvent pas toujours être exprimées tout à fait parfaitement avec des mots.

Il n'y a pas rien il y a la notion d'ensemble (un sac vide).

Patrick

[invite7863222222222]

Il n'y a pas rien il y a la notion d'ensemble (un sac vide).

Patrick

Oui mais je veux dire qu'un ensemble pour moi doit toujours contenir quelque choe sinon ce n'est plus un ensemble. Donc je préfère parler de quelque chose qui est plutôt du réceptacle que de l'ensemble. Je sais pas si je me fais bien comprendre mais pour moi, c'est moins troublant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sylvestre]

Oui mais je veux dire qu'un ensemble pour moi doit toujours contenir quelque choe sinon ce n'est plus un ensemble. Donc je préfère parler de quelque chose qui est plutôt du réceptacle que de l'ensemble. Je sais pas si je me fais bien comprendre mais pour moi, c'est moins troublant.

Est-ce que pour toi l'intersection de deux ensembles est un ensemble ?
Si tu réponds oui, alors est-ce que l'intersection de {1} et de {2} est un ensemble? et si oui lequel ?

Si tu réponds non, à la première question, alors tu ne travailles pas dans le formalisme de la théorie des ensembles.

[invite7863222222222]

Si tu réponds non, à la première question, alors tu ne travailles pas dans le formalisme de la théorie des ensembles.

Effectivement, je travaille pas du tout dans un formalisme, ma question était de l'ordre du vocabulaire seulement, et je suis effectivement HS donc on va dire que je ferme la parenthèse.

[Médiat]

Bonjour,

Quel est l'apport d'une vision ensembliste ?

Une fois que l'on a identifié qu'un ensemble E à une structure algébrique on profite des propriétés génériques de cette structure. Par exemple les nombres complexe, les matrices ont une structure d'espace vectoriel. Le fait qu'un espace vectoriel est un groupe commutatif pour l'addition, toutes les propriétés de groupe s'appliquent intégralement à un espace vectoriel.

Quand est il des ensembles si tout est ensemble ? Quel est l'intérêt d'une telle approche ?

Ta critique est fondée, et se retrouve comme argument pour défendre la théorie des catégories (qui a justement la notion de structure comme élément primitif et pas seulement la notion d'ensemble) comme fondements des mathématiques à la place de la théorie des ensembles ; je précise une fois de plus qu'à titre personnel, la guerre de chapelle entre catégories et ensembles me laisse totalement indifférent (elle aurait même tendance à m'agacer).

Il est quand même bon de savoir qu'une très grande partie des mathématiques est fomalisable dans la théorie des ensembles (y compris la théorie des catégories), de même qu'une très grande partie des mathématiques est fomalisable dans la théorie des catégories (y compris la théorie des ensembles).

[invitebe0cd90e]

Reponse un peu naive : la definition de ces structures repose sur des operations ensemblistes. Donc tu as "besoin" de la notion d'ensemble pour avoir ces structures.

D'un point de vue purement logique, c'est la notion d'ensemble qui te donne le "droit" de faire ce que tu fais en maths. Donc etre un ensemble c'est deja avoir un peu de structure, avec les memes avantages que ceux que tu cites.

Mediat> Je tai deja entendu dire ca, je crois, je n'ai pas vraiment connaissance de cette guere de chapelle. Betement je pensais qu'on ne s'interressais vraiment a la notion d'ensemble que quand on faisait de la logique "pure", or je n'ai jamais vraiment considéré les categories comme un candidat pour fonder les maths. Je m'en sers plutot comme des especes de generalisations, ou d'extension de la notion d'ensemble et de structures, qui comme eux permet de demontrer des choses dans un cadre le plus general possible.... Je ne sais pas si je suis clair

[Médiat]

Je tai deja entendu dire ca, je crois, je n'ai pas vraiment connaissance de cette guere de chapelle.

Voici un article intéressant, légèrement orienté pro-catégorie, mais pas trop (et on ne pourra pas m'accuser de prêcher pour ma chapelle, puisque je suis plutôt ensembliste, avec suffisamment de lucidité pour savoir que cela n’est dû qu’au fait que je connais beaucoup mieux la théorie des ensembles que celle des catégories ; de plus, comme je l’ai dit, ce qui m’intéresse ce n’est pas de savoir laquelle de ces deux théories fonde le mieux les mathématiques, mais de connaître de mieux en mieux ces deux théories).
http://www.emis.de/journals/BAMV/con...9/jeanyves.pdf

[invitebe0cd90e]

Je l'ai parcouru, mais ca confirme un peu ce que je disais, la guerre de chapelles existe surtout chez les logiciens du point de vue de la fondation des mathematiques.

Dans mon travail, et comme j'imagine pour la majorité des matheux, la theorie des categories n'est "qu'un" domaine des mtahs parmi d'autres, interressant pour lui meme ou pour son lien avec d'autre (je me place plutot dans le 2e point), alors que la theorie des ensemble releve essentiellement du domaine de la logique.

Meme si au fond je sais bien que je sors de ZFC quand je fais des categories, pour etre honnete ca ne me preoccupe pas beaucoup

[invite7863222222222]

Je l'ai parcouru, mais ca confirme un peu ce que je disais, la guerre de chapelles existe surtout chez les logiciens du point de vue de la fondation des mathematiques.

Tu veux dire que théorie des catégories ou théorie des ensembles cela ne change pas fondamentalement ton travail de mathématiciens même si les démonstrations peuvent prendre des formes différentes suivant la théorie que l'on choisit ?

Mais changer de théorie n'est-il pas intéressant car cela permet de "voir" les objets mathématiques d'un "autre" oeil ?

[Médiat]

Tu veux dire que théorie des catégories ou théorie des ensembles cela ne change pas fondamentalement ton travail de mathématiciens même si les démonstrations peuvent prendre des formes différentes suivant la théorie que l'on choisit ?

Allons plus loin : peu de mathématiciens connaissent et encore moins utilisent la logique mathématique dans leur pratique quotidienne. Ce n'est d'ailleurs pas une critique de ma part, j'utilise un GPS sans rien connaître des calculs relativistes que son fonctionnement nécessite, et pourtant je m'en sert bien.

[invitebe0cd90e]

Tu veux dire que théorie des catégories ou théorie des ensembles cela ne change pas fondamentalement ton travail de mathématiciens même si les démonstrations peuvent prendre des formes différentes suivant la théorie que l'on choisit ?

Non non, pas du tout Justement, je dit que pour moi la theorie des categories n'est pas une theorie qui "remplace" la theorie des ensemble, je ne m'y interresse pas du tout d'un point de vue logique. Dans mon travail de mathematicien, une categorie est un objet mathematique que je manipule (dans mon cas essentiellement des categories de modules sur une algebre), au meme titre qu'un groupe par exemple, meme si evidemment ces 2 objets ne sont pas au meme "niveau".

Si on me demandait quelle est la base axiomatique des maths que je pratique, je repondrais sans doute machinalement "Theorie ZFC" sans mentionner les categories meme si j'en fait. Mais dans ma vie de tous les jours cette question n'a pour ainsi dire aucune importance Comme le dit Mediat ca n'aurait pas de sens d'ecrire mes demonstrations de maniere purement formelle et logique, ca serait infaisable et illisible ! categorie ou pas, je ne fais qu'enchainer des arguments "en francais", des calculs eventuellement, j'applique des theoremes en essayant de rendre clair le "pourquoi ca marche bien"... Quand je fais des categories, j'utilise "simplement" les definitions et les theoremes dont j'ai besoin comme pour tout autre domaine !

[invite7863222222222]

Allons plus loin : peu de mathématiciens connaissent et encore moins utilisent la logique mathématique dans leur pratique quotidienne. Ce n'est d'ailleurs pas une critique de ma part, j'utilise un GPS sans rien connaître des calculs relativistes que son fonctionnement nécessite, et pourtant je m'en sert bien.

J'ai personnellement quelquefois ressenti des mathématiques comme quelque chose d'un peu mystérieux, puisqu'on retombe toujours sur ces pattes malgré les différentes façon de voir les relations entre les objets mathématiques, mais cette impression est surement totalement injustifiée et certainement du à une compréhension incorrecte ou incomplète des mathématiques. En tout cas, théorie des catégories ou des ensembles, ce n'est pas cela qui peut fondamentalement changer les choses.

[invite986312212]

Allons plus loin : peu de mathématiciens connaissent et encore moins utilisent la logique mathématique dans leur pratique quotidienne. Ce n'est d'ailleurs pas une critique de ma part, j'utilise un GPS sans rien connaître des calculs relativistes que son fonctionnement nécessite, et pourtant je m'en sert bien.

j'ai l'impression que les mathématiciens se servent encore moins de la logique que tu ne te sers d'un GPS. Ou plutôt ils se servent des notions de logique les plus élémentaires, la notion de contraposée, le principe du tiers exclu... de temps en temps la logique se rappelle à notre souvenir: par exemple en consultant un autre fil, je me suis demandé si l'ensemble vide était équipotent à lui-même. Il m'a fallu un petit effort pour me convaincre que l'application vide est bijective...

[invite6754323456711]

Comme le dit Mediat ca n'aurait pas de sens d'ecrire mes demonstrations de maniere purement formelle et logique, ca serait infaisable et illisible !

je pense que l'intérêt est lorsque l'on a besoin de machine pour réaliser une preuve/démonstration.

L'homme peut-il tout démontrer sans l'aide de machine ?

Patrick

[invite986312212]

L'homme peut-il tout démontrer sans l'aide de machine ?

on sait qu'on ne sait pas tout démontrer, même avec des machines. La bonne question est: l'Homme peut-il démontrer tout ce que la Machine peut démontrer?

[invite6754323456711]

on sait qu'on ne sait pas tout démontrer, même avec des machines. La bonne question est: l'Homme peut-il démontrer tout ce que la Machine peut démontrer?

La question que je posais est n'existe t'il pas des cas pour lesquels la machine est indispensable (dans le domaine de la preuve formelle) ?

Car par exemple plus rapide que l'homme pour établir une preuve (combinatoire importante,...).

Patrick

[invite986312212]

pour prouver que la machine est indispensable dans la preuve d'un certain théorème, il faudrait pouvoir borner par en-dessous le nombre d'étapes d'une preuve quelconque de ce théorème. Je ne sais pas si on sait faire ce genre de choses. Médiat saura. Est-ce qu'il y a une "theorie de la complexité" des preuves formelles?

[invite6754323456711]

pour prouver que la machine est indispensable dans la preuve d'un certain théorème, il faudrait pouvoir borner par en-dessous le nombre d'étapes d'une preuve quelconque de ce théorème. Je ne sais pas si on sait faire ce genre de choses. Médiat saura. Est-ce qu'il y a une "theorie de la complexité" des preuves formelles?

il existe cela : http://fr.wikipedia.org/wiki/NP-complet qui est la complexité algorithmique posé de façon mathématique.


Patrick

[Médiat]

Car par exemple plus rapide que l'homme pour établir une preuve (combinatoire importante,...).

Théorème des 4 couleurs (démonstration de 1976) comme tu le sais très bien

[Médiat]

pour prouver que la machine est indispensable dans la preuve d'un certain théorème, il faudrait pouvoir borner par en-dessous le nombre d'étapes d'une preuve quelconque de ce théorème. Je ne sais pas si on sait faire ce genre de choses.

Pour qu'un programme soit valide, il faut un test de fin, pas forcément une borne

Est-ce qu'il y a une "theorie de la complexité" des preuves formelles?

Oui, un certain Chaitin, bien connu pour son nombre Ω a travaillé dans ce domaine, il y a aussi Solovay, Levin, Calude etc.

[invite986312212]

Théorème des 4 couleurs (démonstration de 1976) comme tu le sais très bien

mais il n'est pas exclu qu'on en trouve un jour une preuve "humaine".

[invite6754323456711]

mais il n'est pas exclu qu'on en trouve un jour une preuve "humaine".

Pourquoi n'est elle pas considéré comme humaine ? C'est pas le forgeron qui forge mais le marteau ?

Patrick

[Médiat]

mais il n'est pas exclu qu'on en trouve un jour une preuve "humaine".

Certes, j'aurais d'ailleurs pu prendre un exemple plus simple :
Le théorème "Il existe exactement x nombres premiers entre 10¹⁰ et 10²⁰", ou x doit être remplacé par la bonne valeur, est très facile à démontrer avec un ordinateur, impossible "à la main".

Bien sur, rien n'interdit de penser que dans le futur on en sache plus sur les nombres premiers qu'aujourd'hui (c'est même certain) au point que l'on soit capable d'écrire une fonction P(n, m) qui donne le nombre de nombres premiers entre n et m (c'est moins sur, mais je ne peux éliminer cette hypothèse).

[Médiat]

Pourquoi n'est elle pas considéré comme humaine ? C'est pas le forgeron qui forge mais le marteau ?

ambrosio a écrit "humaine", avec les guillemets

[invite986312212]

Le théorème "Il existe exactement x nombres premiers entre 10¹⁰ et 10²⁰", ou x doit être remplacé par la bonne valeur, est très facile à démontrer avec un ordinateur, impossible "à la main".

dans ce cas la démonstration précède nécessairement l'énoncé.

[invité576543]

dans ce cas la démonstration précède nécessairement l'énoncé.

Pourquoi? On peut avoir choisi x au hasard (et avoir de la chance...).

On peut inverser les probabilités en remplaçant par "Le nombre de nombres premiers entre 10¹⁰ et 10²⁰ est différent de x", en choisissant x plus ou moins au hasard (dans l'intervalle d'incertitude).

Pareil, un ordinateur peut le démontrer, plus difficile pour un humain, non?

Cordialement,

[invite986312212]

bah, en choisissant x plus petit qu'environ 34, le théorème (qu'on appellera "postulat négatif de Michel") est tout démontré.

[Médiat]

bah, en choisissant x plus petit qu'environ 34, le théorème (qu'on appellera "postulat négatif de Michel") est tout démontré.

Démontrer un postulat .