théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov

[invite769a1844]

Bonsoir,

dans la démonstration de ce théorème donnée dans le Brezis dans l'étape b),
afin d'affirmer que est équicontinue, j'ai l'impression que l'auteur utilise cette inégalité que j'ai du mal à établir:



étant une suite régularisante de , et .

Merci pour toute indication.

[invite769a1844]

ah vraiment désolé, je viens de retrouver un exo de l'an d'avant où on montrait que , et la continuité de entraîne que .

[invite769a1844]

bon en fait non c'était pas du tout le même exo

[invite769a1844]

Bon finalement je pense avoir trouvé, enfin une majoration un peu plus faible mais c'est pas grave. J'obtiens cette relation:




Pour le cas non trivial où on a

,

d'où l'inégalité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

J'ai une dernière question concernant cette démo. est un ouvert relativement compact de .
Pourquoi une partie relativement compacte de est aussi relativement compacte dans ?

[invitebb921944]

Bonjour,
pour la première inégalité, je ne pense pas que l'auteur utilise
mais simplement .
On a
.

Or si on pose et , on a
(l(égalité précédente est peut-être une inégalité en fait j'ai pas suffisamment réfléchi).
Donc .

Cela dit je ne vois pas dans l'immédiat pourquoi on aurait donc je dis peut-être des bêtises .

Pour ta dernière question, c'est sans doute dû à la densité de dans .

[invite769a1844]

ah oui merci gb, c'est tout bête j'avais pas tilté ,
et une partie relativement compacte de reste relativement compacte dans ,
parce que ces trois espaces sont complets + histoire de précompacité et de topo induite, pas besoin d'hypothèse de densité.

Donc .

comment arrives-tu à cette inégalité? Du raisonnement que tu fais juste avant je ne vois pas comment on tombe dessus.

Je vais essayer de mieux cibler mon problème afin de le rendre indépendant des notations du brezis et pas retaper tout l'énoncé,
je vous remercie d'avoir bien voulu vous pencher sur mon problème.

[invite769a1844]

je viens de comprendre, tu avais admis que .

[invite769a1844]

Je reprends au sujet de cette inégalité mystérieuse.

l'énoncé du théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov:

Soit un ouvert et soit un ouvert relativement compact tel que . Soit un sous-ensemble borné de avec .
On suppose que vérifie une hypothèse d'équicontinuité intégrale:

.

Alors est relativement compact dans .


au niveau de la preuve:

On suppose que est borné. Pour on pose .

On note de sorte que est borné dans et .

On prend une suite régularisante de .

a) à l'aide de l'hypothèse d'équicontinuité intégrale on établit cette relation:

.

b) vérifie pour chaque le théorème d'Ascoli. Pour le justifier l'auteur dit qu'on a d'abord

. (là je suppose qu'il définit par cette relation).

D'autre part, on a

(c'est cette dernière inégalité que je ne comprends pas , à cause de cette apparition de )

Il en résulte que est relativement compact dans et à fortiori dans .

c) il conclut la démo.

[invite57a1e779]

Le plus simplement du monde :



Or , donc

[invite769a1844]

Bonjour gb,

cette inégalité ne me posait pas de souci, c'était plutôt celle où il y a du .

[invite57a1e779]

Je viens de comprendre ton problème.

est borné dans et .

Il existe donc tel que pour tout

. (là je suppose qu'il définit par cette relation).

Tu supposes bien : Brezis définit , qui ne dépend pas de , et prouve ainsi que est bornée dans .

La constante viens de remplir son contrat, Brezis n'en a plus besoin, et il libère (mais sans le dire explicitement) l'appellation , qu'il pourra réutiliser en cas de besoin.

[CENTER]

Brezis définit ici une nouvelle constante : (toujours indépendante de ), ce qui permet de prouver que est équicontinue, et de conclure par le théorème d'Ascoli.

Je te l'accorde, la réutilisation immédiate du nom pour cette deuxième constante n'est peut-être pas un choix judicieux de la part de Brezis, et il eût été préférable de la noter .

Note bien que cette deuxième constante ne servira plus à rien, que, à partir de maintenant, on oublie qu'elle a existé, et on pourra donc renommer une troisième constante par la suite...

[invite769a1844]

D'accord, en fait il suffit de prendre .

Merci gb c'est bien clair maintenant.

[invitef97cf2c7]

Bonjour,

je déterre ce topic parce que je suis en trai nde bosser cette même preuve, dans le même bouquin !

Sauf que moi je bloque bien avant...

1. Pourquoi peut-on supposer borné sans restriction ? Parce que est relativement compact donc borné, et qu'il suffit de prendre un qui contienne son adhérence ?

2. A quoi ça sert de supposer que est borné ? Peut-on alors dire que la norme L^1 est plus petite que la norme L^p, à un coefficient multiplicatif près (la mesure de justement, à une certaine puissance) ?

Merci d'avance pour votre aide !

[invite57a1e779]

Cette assertion est manifestement fausse : pour tout réel , il existe et dans avec , et l'on aurait .
En faisant tendre vers l'infini, il vient !!!

[invite769a1844]

ah ok gb, et du coup même le rafistolage que j'ai fait à 00h53 c'est n'importe quoi, vu que je divise par l'infini (j'aurais du aller me coucher ).
Je vais creuser l'idée de Ganash, vu comme c'était balancé, je pensais que c'était quasiment direct.

Pour l'autre question je me doutais que la densité y serait pour quelque chose mais je rencontre ces problèmes:

les fonctions de sont définies sur tandis que celles de sont définies sur ,
je suis d'accord avec le fait que soit dense dans , mais je ne vois même pas pourquoi est inclus dans ?

[invite57a1e779]

Bonjour rhomuald,

Je ne dispose pas du Brezis, et j'interprète peut-être mal ton problème.

Dans la forme classique du théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov, est un ouvert borné, donc est compact, et on a .