calcul de primitive par les complexes

vince3001 · 24/01/2009 - 10h11

Bonjour,
Voilà je cherche une primitive de $\frac{1}{t^7-1}$
Voici le début de la résolution du pb que je dois finir.Ms une étape me chagrine...

On effectue une décomposition en elt simples :
Comme
$t^7-1 = \prod_{k=0}^6 (t-z_k)$
avec
$z_k=e^\frac{2ikpi}{7}$ k variant de 0 à 6
alors
$\frac{1}{t^7-1}= \sum_{k=0}^6 \frac{\alpha_ k}{t-z_k}=\frac{\alpha_0}{t-1}+\sum_{k=0}^3 [\frac{\alpha_ k}{t-z_k}+\frac{\overline{\alpha_ k}}{t-\overline{z_k}}]$
L'expression entre crochet vaut
$2 Re (\frac{\alpha_ k}{t-z_k})$
et voici l'étape que je ne comprend pas :
$2 Re (\frac{\alpha_ k}{t-z_k})=\frac{A_kt+B_k}{(t-Re z_k)^2+(Im z_k)^2}$
J'aimerai bien que vous m'éclairiez sur cette derniere étape. Merci

Forhaia · 24/01/2009 - 10h30

Bonjour,

$Re (\frac{\alpha_ k}{t-z_k})$
Il a écrit le dénominateur sous forme algébrique, puis multiplié par le conjugué, puis pris la partie réelle.