Bonjour,

Soit une conique plane d'équation cartésienne, dans le repère (O ; i, j) :

q(x,y) + l(x,y) + k =0 (1)

où : q, forme quadratique ; l, forme linéaire ; k, constante et (x,y) dans R².

Soit A(r,s) un point de la conique.

Quelqu'un m'a alors donné le résultat suivant, que je n'arrive pas à démontrer :

L'équation de la conique dans le repère ( A ; u, v), où u est un vecteur directeur de la tangente à la conique en A, est :

q(x,y) - y =0

Comment faire pour arriver à ce résultat ?

Tout d'abord, je calcule l'équation dans le repère (A ; i, j) :

on pose X = x - r ; Y = y - s. Alors, en repportant dans (1), on a :

q(X+r, Y +s) + l(X+r, Y+s) + k = 0

Soit :

q (X, Y) + q (r,s) + f((X, Y), (r,s)) + l(X,Y) + l(r,s) + k =0

où f est la forme polaire associée à q.

Or, comme A(r,s) appartient à la conique, on a :

q(r,s) + l(r,s) + k =0

D'où l'équation de la conique dans (A ; i, j) :

q (X, Y) + f((X, Y), (r,s)) + l(X,Y) =0

Maintenant, il faut faire tourner les axes de manière à ce que l'axe des abscisses soit la tangente en A à la conique.

Pouvez-vous m'expliquer en détail comment on fait cela ? (et donc, comment on trouve l'équation q(X,Y) - Y =0)

(Remarque : si c'est plus aisé, on peut aussi travailler avec l'équation cartésienne "développée" : ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + k =0)

Merci.