sous-groupe additif

[moijdikssékool]

qu'est-ce qu'un sous-groupe additif?
j'ai la question suivante:

Montrer que les sous-groupes additifs de |R discrets sont de la forme



(discrets: d'intersection finie ou vide avec tout compact de |R)

{-a, 0, a} est bien un sous-groupe de |R muni de l'addition

il est bien d'intersection finie ou vide avec tout compact de |R, non?

(si un sous-groupe additif A doit vérifier a+a A pour tout a A, c'est faisable...)
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[matthias]

un sous-groupe additif de IR est simplement un sous-groupe de (IR;+).
donc il doit bien vérifier a + a appartient à A
Pour le reste, c'est un exercice ultra classique (et même une propriété fondamentale), donc je te laisse chercher un peu..

[matthias]

Il est d'ailleurs intéressant de montrer aussi que tous les sous-groupes additifs de IR qui ne sont pas de cette forme sont partout denses dans IR.

[moijdikssékool]

OKOK
c'est vrai qu'avec avec . = + et b = , on a a+a...

ouf j'ai eu peur

sinon, pour montrer que ce sont les seuls, je dis que les sous groupe discrets du type aZ sont, lorsqu'ils ne sont pas restreint à 0, minimals (il suffit de leur ajouter a pour que aZ lui soit alors inclus) et maximals (il suffit de leur ajouter un b pour que bZ lui soit alors ussi inclus). Ensuite il existe un infinité d'éléments (, ) tels que est compris entre les bornes (réelles) d'un compact quelconque de |R. donc comme on ne peut avoir aZ+bZ, ce ne peut être que aZ

sinon, c'est quoi {-a, 0, a}, ca a un nom en particulier?

désolé pour le 2ème sujet identique, je ne sais pas comment le supprimer

pour la densité, il faut que la borne inf soit nulle

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

OKOK
c'est vrai qu'avec avec . = + et b = , on a a+a...

Houla. Dis simplement que si (A;+) est un groupe alors par définition (A;+) est un magma (la loi est interne) et donc que si a appartient à a, a+a appartient à a ...

Ensuite il existe un infinité d'éléments (, ) tels que est compris entre les bornes (réelles) d'un compact quelconque de |R.

Ce n'est vrai que si a/b est irrationnel.

sinon, c'est quoi {-a, 0, a}, ca a un nom en particulier?

Un ensemble ?

pour la densité, il faut que la borne inf soit nulle

Oui.

[matthias]

Ce n'est vrai que si a/b est irrationnel.

Euh non désolé. Il existe bien une infinité de k1 et k2, pas nécessairement une infinité de k1a + k2b distincts ...

[matthias]

Moi ma démo fonctionne ainsi :

G sous-groupe additif de IR.
E = {x dans G/ x > 0}
a = inf(E)

1er cas: a appartient à E
On peut montrer que pour tout x de G, y = x - a.E(x/a) est nul

2ème cas: a n'appartient pas à E
On montre que a = 0, et que G est partout dense dans IR (donc pas discret)

[martini_bird]

Salut,

{-a, 0, a} est bien un sous-groupe de |R muni de l'addition

Non non, Il faut que ton sous-groupe soit stable pour l'addition: par exemple, que fais-tu de a+a, de a+a+a, etc? (à moins que a soit nul )

[C.B.]

sinon, pour montrer que ce sont les seuls, je dis que les sous groupe discrets du type aZ sont, lorsqu'ils ne sont pas restreint à 0, minimals (il suffit de leur ajouter a pour que aZ lui soit alors inclus) et maximals (il suffit de leur ajouter un b pour que bZ lui soit alors ussi inclus).

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par minimal et maximal : c'est pour quelle relation d'ordre ? (en tout cas, ce ne peut pas être pour l'inclusion)

Ensuite il existe un infinité d'éléments (, ) tels que est compris entre les bornes (réelles) d'un compact quelconque de |R.
donc comme on ne peut avoir aZ+bZ, ce ne peut être que aZ

ça veut dire quoi "on ne peut avoir aZ+bZ" ??

pour la densité, il faut que la borne inf soit nulle

La borne inf des éléments strictements positifs.

[martini_bird]

Pour illustrer le fait que tous les sous-groupes additifs de R ne sont pas discrets (et donc du type aZ), il suffit de penser à Q, ou Q(sqrt(2)) ou Q(pi)...

[Gwyddon]

pendant qu'on y est, sur le même thème :
"montrer que est un fermé si et seulement si "


cela peut être assez utile, et fournit un contre-exemple assez élégant à la proposition fausse "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé"

amusez vous bien !

[martini_bird]

amusez vous bien !

Heu... pour quelle topologie (ou métrique)?

[Gwyddon]

pour les sous-groupes de IR, je prend la métrique habituelle bien sûr.

[matthias]

pendant qu'on y est, sur le même thème :
"montrer que est un fermé si et seulement si "

ou est partout dense dans si et seulement si a/b n'appartient pas à
on peut en faire beaucoup comme ça

[C.B.]

pendant qu'on y est, sur le même thème :
"montrer que est un fermé si et seulement si "

Heu... pour quelle topologie (ou métrique)?

Pour la topologie usuelle de R je suppose, car ce n'est pas vrai pour la topologie de R en tant que Q espace vectoriel

cela peut être assez utile, et fournit un contre-exemple assez élégant à la proposition fausse "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé"

Non, ce n'est pas un contre exemple à cette affirmation, car non seulement n'est pas un espace vectoriel, mais en plus c'est un fermé (et l'espace vectoriel qu'il engendre est fermé) pour la topologie de R en tant que Q espace vectoriel.
Cette affirmation : "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé" est vraie si on rajoute comme hypothèse que A et B sont de dimension finie. Pour trouver des contre-exemples, on est obligé de faire appel à des sous espaces vectoriels infinis.

[Gwyddon]

Pour la topologie usuelle de R je suppose, car ce n'est pas vrai pour la topologie de R en tant que Q espace vectoriel

Non, ce n'est pas un contre exemple à cette affirmation, car non seulement n'est pas un espace vectoriel, mais en plus c'est un fermé (et l'espace vectoriel qu'il engendre est fermé) pour la topologie de R en tant que Q espace vectoriel.
Cette affirmation : "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé" est vraie si on rajoute comme hypothèse que A et B sont de dimension finie. Pour trouver des contre-exemples, on est obligé de faire appel à des sous espaces vectoriels infinis.

Tu te trompes, et je pense que c'est dû à mon imprécision : si je prend IR en tant que IR-espace vectoriel, Z et aZ sont des parties de IR, fermées, et pourtant Z+ aZ n'est pas fermé si a est rationnel.

Donc la proposition "A fermé, B fermé dans E evn implique A+B fermé" est bien une proposition fausse

[martini_bird]

Il y quelque chose qui me chiffonne: Z+aZ est discret, non?
Je ne vois donc pas pourquoi il ne serait pas fermé.

Tu peux préciser 09Jul85, stp?

[martini_bird]

RECTIFICATION: j'ai dit une bêtise!!!

Post précédent à oublier, svp.

[martini_bird]

En fait si a est irrationnel, la suite [na] (où [.] est la partie entière) est dense dans [0,1], c'est ça?

[moijdikssékool]

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par minimal et maximal : c'est pour quelle relation d'ordre ? (en tout cas, ce ne peut pas être pour l'inclusion)

je veux dire par là qu'il ne peut pas être plus petit (sans se restreindre à {0}) ni plus grand

[moijdikssékool]

euh j'ai compris ta question
en gros, pour avoir autre chose que {0}, on ajoute au minimum un réel a. Pour être un sous groupe additif de R, il devient aZ. Si on veut en rajouter un autre b (pas dans aZ), il faut rajouter bZ au minimum (suivant la même construction que pour aZ) et aZ+bZ n'est pas discret (si a et b sont premiers entre eux)

de toute façon, aZ+bZ = aZ U bZ

[martini_bird]

de toute façon, aZ+bZ = aZ U bZ

Houla non! Malheureux!

(contre-exemple: 2Z+3Z=Z car 1=3-2, mais 2Z U 3Z ne contient pas 1)

Revois un peu ton cours, il y a des choses que tu n'as pas comprises.

Cordialement.

[matthias]

aZ+bZ n'est pas discret (si a et b sont premiers entre eux)

Attention ici a et b sont des réels. En relisant les différents posts tu verras que aZ + bZ n'est pas discret si a/b n'est pas rationnel, ce qui n'est pas la même chose ...

[matthias]

En fait si a est irrationnel, la suite [na] (où [.] est la partie entière) est dense dans [0,1], c'est ça?

Tu veux sans doute dire la suite na - E(na), où E est la partie entière.
Parce que la partie entière de na n'est pas nécessairement dans [0;1], mais bon c'est juste une étourderie
Et dans ce cas, oui l'ensemble des valeurs prises par la suite est dense dans [0;1]

[martini_bird]

Tu veux sans doute dire la suite na - E(na), où E est la partie entière.
Parce que la partie entière de na n'est pas nécessairement dans [0;1], mais bon c'est juste une étourderie
Et dans ce cas, oui l'ensemble des valeurs prises par la suite est dense dans [0;1]

Oui, je pensais effectivement à la partie fractionnaire.

Merci.

[matthias]

Au fait moijdiksékool, tu as réussi à le démontrer ton problème ?

[Gwyddon]

coucou,

si ce que j'ai lancé sur ce post vous chiffonne, j'ai mis en ligne sur mon site sa démonstration : http://jbaglio.free.fr/maths/Groupes-IR.pdf


cordialement,

Julien

[matthias]

Je ne pense pas que ça chiffonait grand monde. Au vu de l'ensemble des posts c'est même plutôt évident.

[martini_bird]

Je ne pense pas que ça chiffonait grand monde. Au vu de l'ensemble des posts c'est même plutôt évident.

Ben en voilà une réponse!

C'est quand même gentil de sa part d'avoir posté une démo! Il y aura peut-être de futurs lecteurs qui apprécieront de la lire...

Cordialement.

[Gwyddon]

euh... merci c'est gentil