sous-groupe additif

[moijdikssékool]

qu'est-ce qu'un sous-groupe additif?
j'ai la question suivante:

Montrer que les sous-groupes additifs de |R discrets sont de la forme



(discrets: d'intersection finie ou vide avec tout compact de |R)

{-a, 0, a} est bien un sous-groupe de |R muni de l'addition

il est bien d'intersection finie ou vide avec tout compact de |R, non?

(si un sous-groupe additif A doit vérifier a+a A pour tout a A, c'est faisable...)

[matthias]

un sous-groupe additif de IR est simplement un sous-groupe de (IR;+).
donc il doit bien vérifier a + a appartient à A
Pour le reste, c'est un exercice ultra classique (et même une propriété fondamentale), donc je te laisse chercher un peu..

[matthias]

Il est d'ailleurs intéressant de montrer aussi que tous les sous-groupes additifs de IR qui ne sont pas de cette forme sont partout denses dans IR.

[moijdikssékool]

OKOK
c'est vrai qu'avec avec . = + et b = , on a a+a...

ouf j'ai eu peur

sinon, pour montrer que ce sont les seuls, je dis que les sous groupe discrets du type aZ sont, lorsqu'ils ne sont pas restreint à 0, minimals (il suffit de leur ajouter a pour que aZ lui soit alors inclus) et maximals (il suffit de leur ajouter un b pour que bZ lui soit alors ussi inclus). Ensuite il existe un infinité d'éléments (, ) tels que est compris entre les bornes (réelles) d'un compact quelconque de |R. donc comme on ne peut avoir aZ+bZ, ce ne peut être que aZ

sinon, c'est quoi {-a, 0, a}, ca a un nom en particulier?

désolé pour le 2ème sujet identique, je ne sais pas comment le supprimer

pour la densité, il faut que la borne inf soit nulle

[matthias]

OKOK
c'est vrai qu'avec avec . = + et b = , on a a+a...

Houla. Dis simplement que si (A;+) est un groupe alors par définition (A;+) est un magma (la loi est interne) et donc que si a appartient à a, a+a appartient à a ...

Ensuite il existe un infinité d'éléments (, ) tels que est compris entre les bornes (réelles) d'un compact quelconque de |R.

Ce n'est vrai que si a/b est irrationnel.

sinon, c'est quoi {-a, 0, a}, ca a un nom en particulier?

Un ensemble ?

pour la densité, il faut que la borne inf soit nulle

Oui.

[matthias]

Ce n'est vrai que si a/b est irrationnel.

Euh non désolé. Il existe bien une infinité de k1 et k2, pas nécessairement une infinité de k1a + k2b distincts ...

[matthias]

Moi ma démo fonctionne ainsi :

G sous-groupe additif de IR.
E = {x dans G/ x > 0}
a = inf(E)

1er cas: a appartient à E
On peut montrer que pour tout x de G, y = x - a.E(x/a) est nul

2ème cas: a n'appartient pas à E
On montre que a = 0, et que G est partout dense dans IR (donc pas discret)

[martini_bird]

Salut,

{-a, 0, a} est bien un sous-groupe de |R muni de l'addition

Non non, Il faut que ton sous-groupe soit stable pour l'addition: par exemple, que fais-tu de a+a, de a+a+a, etc? (à moins que a soit nul )

[C.B.]

sinon, pour montrer que ce sont les seuls, je dis que les sous groupe discrets du type aZ sont, lorsqu'ils ne sont pas restreint à 0, minimals (il suffit de leur ajouter a pour que aZ lui soit alors inclus) et maximals (il suffit de leur ajouter un b pour que bZ lui soit alors ussi inclus).

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par minimal et maximal : c'est pour quelle relation d'ordre ? (en tout cas, ce ne peut pas être pour l'inclusion)

Ensuite il existe un infinité d'éléments (, ) tels que est compris entre les bornes (réelles) d'un compact quelconque de |R.
donc comme on ne peut avoir aZ+bZ, ce ne peut être que aZ

ça veut dire quoi "on ne peut avoir aZ+bZ" ??

pour la densité, il faut que la borne inf soit nulle

La borne inf des éléments strictements positifs.

[martini_bird]

Pour illustrer le fait que tous les sous-groupes additifs de R ne sont pas discrets (et donc du type aZ), il suffit de penser à Q, ou Q(sqrt(2)) ou Q(pi)...

[Gwyddon]

pendant qu'on y est, sur le même thème :
"montrer que est un fermé si et seulement si "


cela peut être assez utile, et fournit un contre-exemple assez élégant à la proposition fausse "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé"

amusez vous bien !

[martini_bird]

amusez vous bien !

Heu... pour quelle topologie (ou métrique)?

[Gwyddon]

pour les sous-groupes de IR, je prend la métrique habituelle bien sûr.

[matthias]

pendant qu'on y est, sur le même thème :
"montrer que est un fermé si et seulement si "

ou est partout dense dans si et seulement si a/b n'appartient pas à
on peut en faire beaucoup comme ça

[C.B.]

pendant qu'on y est, sur le même thème :
"montrer que est un fermé si et seulement si "

Heu... pour quelle topologie (ou métrique)?

Pour la topologie usuelle de R je suppose, car ce n'est pas vrai pour la topologie de R en tant que Q espace vectoriel

cela peut être assez utile, et fournit un contre-exemple assez élégant à la proposition fausse "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé"

Non, ce n'est pas un contre exemple à cette affirmation, car non seulement n'est pas un espace vectoriel, mais en plus c'est un fermé (et l'espace vectoriel qu'il engendre est fermé) pour la topologie de R en tant que Q espace vectoriel.
Cette affirmation : "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé" est vraie si on rajoute comme hypothèse que A et B sont de dimension finie. Pour trouver des contre-exemples, on est obligé de faire appel à des sous espaces vectoriels infinis.