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sous-groupe additif



  1. #1
    moijdikssékool

    sous-groupe additif


    ------

    qu'est-ce qu'un sous-groupe additif?
    j'ai la question suivante:

    Montrer que les sous-groupes additifs de |R discrets sont de la forme



    (discrets: d'intersection finie ou vide avec tout compact de |R)

    {-a, 0, a} est bien un sous-groupe de |R muni de l'addition

    il est bien d'intersection finie ou vide avec tout compact de |R, non?

    (si un sous-groupe additif A doit vérifier a+a A pour tout a A, c'est faisable...)

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : sous-groupe additif

    un sous-groupe additif de IR est simplement un sous-groupe de (IR;+).
    donc il doit bien vérifier a + a appartient à A
    Pour le reste, c'est un exercice ultra classique (et même une propriété fondamentale), donc je te laisse chercher un peu..

  4. #3
    matthias

    Re : sous-groupe additif

    Il est d'ailleurs intéressant de montrer aussi que tous les sous-groupes additifs de IR qui ne sont pas de cette forme sont partout denses dans IR.

  5. #4
    moijdikssékool

    Re : sous-groupe additif

    OKOK
    c'est vrai qu'avec avec . = + et b = , on a a+a...

    ouf j'ai eu peur

    sinon, pour montrer que ce sont les seuls, je dis que les sous groupe discrets du type aZ sont, lorsqu'ils ne sont pas restreint à 0, minimals (il suffit de leur ajouter a pour que aZ lui soit alors inclus) et maximals (il suffit de leur ajouter un b pour que bZ lui soit alors ussi inclus). Ensuite il existe un infinité d'éléments (, ) tels que est compris entre les bornes (réelles) d'un compact quelconque de |R. donc comme on ne peut avoir aZ+bZ, ce ne peut être que aZ

    sinon, c'est quoi {-a, 0, a}, ca a un nom en particulier?

    désolé pour le 2ème sujet identique, je ne sais pas comment le supprimer

    pour la densité, il faut que la borne inf soit nulle
    Dernière modification par moijdikssékool ; 11/03/2005 à 10h42.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    matthias

    Re : sous-groupe additif

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    OKOK
    c'est vrai qu'avec avec . = + et b = , on a a+a...
    Houla. Dis simplement que si (A;+) est un groupe alors par définition (A;+) est un magma (la loi est interne) et donc que si a appartient à a, a+a appartient à a ...

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    Ensuite il existe un infinité d'éléments (, ) tels que est compris entre les bornes (réelles) d'un compact quelconque de |R.
    Ce n'est vrai que si a/b est irrationnel.

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    sinon, c'est quoi {-a, 0, a}, ca a un nom en particulier?
    Un ensemble ?

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    pour la densité, il faut que la borne inf soit nulle
    Oui.

  8. #6
    matthias

    Re : sous-groupe additif

    Citation Envoyé par matthias
    Ce n'est vrai que si a/b est irrationnel.
    Euh non désolé. Il existe bien une infinité de k1 et k2, pas nécessairement une infinité de k1a + k2b distincts ...

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  10. #7
    matthias

    Re : sous-groupe additif

    Moi ma démo fonctionne ainsi :

    G sous-groupe additif de IR.
    E = {x dans G/ x > 0}
    a = inf(E)

    1er cas: a appartient à E
    On peut montrer que pour tout x de G, y = x - a.E(x/a) est nul

    2ème cas: a n'appartient pas à E
    On montre que a = 0, et que G est partout dense dans IR (donc pas discret)

  11. #8
    martini_bird

    Re : sous-groupe additif

    Salut,

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    {-a, 0, a} est bien un sous-groupe de |R muni de l'addition
    Non non, Il faut que ton sous-groupe soit stable pour l'addition: par exemple, que fais-tu de a+a, de a+a+a, etc? (à moins que a soit nul )

  12. #9
    C.B.

    Re : sous-groupe additif

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    sinon, pour montrer que ce sont les seuls, je dis que les sous groupe discrets du type aZ sont, lorsqu'ils ne sont pas restreint à 0, minimals (il suffit de leur ajouter a pour que aZ lui soit alors inclus) et maximals (il suffit de leur ajouter un b pour que bZ lui soit alors ussi inclus).
    Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par minimal et maximal : c'est pour quelle relation d'ordre ? (en tout cas, ce ne peut pas être pour l'inclusion)

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    Ensuite il existe un infinité d'éléments (, ) tels que est compris entre les bornes (réelles) d'un compact quelconque de |R.
    donc comme on ne peut avoir aZ+bZ, ce ne peut être que aZ
    ça veut dire quoi "on ne peut avoir aZ+bZ" ??

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    pour la densité, il faut que la borne inf soit nulle
    La borne inf des éléments strictements positifs.

  13. #10
    martini_bird

    Re : sous-groupe additif

    Pour illustrer le fait que tous les sous-groupes additifs de R ne sont pas discrets (et donc du type aZ), il suffit de penser à Q, ou Q(sqrt(2)) ou Q(pi)...

  14. #11
    Gwyddon

    Re : sous-groupe additif

    pendant qu'on y est, sur le même thème :
    "montrer que est un fermé si et seulement si "


    cela peut être assez utile, et fournit un contre-exemple assez élégant à la proposition fausse "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé"

    amusez vous bien !
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  15. #12
    martini_bird

    Re : sous-groupe additif

    Citation Envoyé par 09Jul85
    amusez vous bien !
    Heu... pour quelle topologie (ou métrique)?

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  17. #13
    Gwyddon

    Re : sous-groupe additif

    pour les sous-groupes de IR, je prend la métrique habituelle bien sûr.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  18. #14
    matthias

    Re : sous-groupe additif

    Citation Envoyé par 09Jul85
    pendant qu'on y est, sur le même thème :
    "montrer que est un fermé si et seulement si "
    ou est partout dense dans si et seulement si a/b n'appartient pas à
    on peut en faire beaucoup comme ça

  19. #15
    C.B.

    Re : sous-groupe additif

    Citation Envoyé par 09Jul85
    pendant qu'on y est, sur le même thème :
    "montrer que est un fermé si et seulement si "
    Citation Envoyé par martini_bird
    Heu... pour quelle topologie (ou métrique)?
    Pour la topologie usuelle de R je suppose, car ce n'est pas vrai pour la topologie de R en tant que Q espace vectoriel

    Citation Envoyé par 09Jul85
    cela peut être assez utile, et fournit un contre-exemple assez élégant à la proposition fausse "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé"
    Non, ce n'est pas un contre exemple à cette affirmation, car non seulement n'est pas un espace vectoriel, mais en plus c'est un fermé (et l'espace vectoriel qu'il engendre est fermé) pour la topologie de R en tant que Q espace vectoriel.
    Cette affirmation : "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé" est vraie si on rajoute comme hypothèse que A et B sont de dimension finie. Pour trouver des contre-exemples, on est obligé de faire appel à des sous espaces vectoriels infinis.

  20. #16
    Gwyddon

    Re : sous-groupe additif

    Citation Envoyé par C.B.
    Pour la topologie usuelle de R je suppose, car ce n'est pas vrai pour la topologie de R en tant que Q espace vectoriel

    Non, ce n'est pas un contre exemple à cette affirmation, car non seulement n'est pas un espace vectoriel, mais en plus c'est un fermé (et l'espace vectoriel qu'il engendre est fermé) pour la topologie de R en tant que Q espace vectoriel.
    Cette affirmation : "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé" est vraie si on rajoute comme hypothèse que A et B sont de dimension finie. Pour trouver des contre-exemples, on est obligé de faire appel à des sous espaces vectoriels infinis.
    Tu te trompes, et je pense que c'est dû à mon imprécision : si je prend IR en tant que IR-espace vectoriel, Z et aZ sont des parties de IR, fermées, et pourtant Z+ aZ n'est pas fermé si a est rationnel.

    Donc la proposition "A fermé, B fermé dans E evn implique A+B fermé" est bien une proposition fausse
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  21. #17
    martini_bird

    Re : sous-groupe additif

    Il y quelque chose qui me chiffonne: Z+aZ est discret, non?
    Je ne vois donc pas pourquoi il ne serait pas fermé.

    Tu peux préciser 09Jul85, stp?

  22. #18
    martini_bird

    Re : sous-groupe additif

    RECTIFICATION: j'ai dit une bêtise!!!

    Post précédent à oublier, svp.

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  24. #19
    martini_bird

    Re : sous-groupe additif

    En fait si a est irrationnel, la suite [na] (où [.] est la partie entière) est dense dans [0,1], c'est ça?

  25. #20
    moijdikssékool

    Re : sous-groupe additif

    Citation Envoyé par CB
    Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par minimal et maximal : c'est pour quelle relation d'ordre ? (en tout cas, ce ne peut pas être pour l'inclusion)
    je veux dire par là qu'il ne peut pas être plus petit (sans se restreindre à {0}) ni plus grand

  26. #21
    moijdikssékool

    Re : sous-groupe additif

    euh j'ai compris ta question
    en gros, pour avoir autre chose que {0}, on ajoute au minimum un réel a. Pour être un sous groupe additif de R, il devient aZ. Si on veut en rajouter un autre b (pas dans aZ), il faut rajouter bZ au minimum (suivant la même construction que pour aZ) et aZ+bZ n'est pas discret (si a et b sont premiers entre eux)

    de toute façon, aZ+bZ = aZ U bZ

  27. #22
    martini_bird

    Re : sous-groupe additif

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    de toute façon, aZ+bZ = aZ U bZ
    Houla non! Malheureux!

    (contre-exemple: 2Z+3Z=Z car 1=3-2, mais 2Z U 3Z ne contient pas 1)

    Revois un peu ton cours, il y a des choses que tu n'as pas comprises.

    Cordialement.

  28. #23
    matthias

    Re : sous-groupe additif

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    aZ+bZ n'est pas discret (si a et b sont premiers entre eux)
    Attention ici a et b sont des réels. En relisant les différents posts tu verras que aZ + bZ n'est pas discret si a/b n'est pas rationnel, ce qui n'est pas la même chose ...

  29. #24
    matthias

    Re : sous-groupe additif

    Citation Envoyé par martini_bird
    En fait si a est irrationnel, la suite [na] (où [.] est la partie entière) est dense dans [0,1], c'est ça?
    Tu veux sans doute dire la suite na - E(na), où E est la partie entière.
    Parce que la partie entière de na n'est pas nécessairement dans [0;1], mais bon c'est juste une étourderie
    Et dans ce cas, oui l'ensemble des valeurs prises par la suite est dense dans [0;1]

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  31. #25
    martini_bird

    Re : sous-groupe additif

    Citation Envoyé par matthias
    Tu veux sans doute dire la suite na - E(na), où E est la partie entière.
    Parce que la partie entière de na n'est pas nécessairement dans [0;1], mais bon c'est juste une étourderie
    Et dans ce cas, oui l'ensemble des valeurs prises par la suite est dense dans [0;1]
    Oui, je pensais effectivement à la partie fractionnaire.

    Merci.

  32. #26
    matthias

    Re : sous-groupe additif

    Au fait moijdiksékool, tu as réussi à le démontrer ton problème ?

  33. #27
    Gwyddon

    Re : sous-groupe additif

    coucou,

    si ce que j'ai lancé sur ce post vous chiffonne, j'ai mis en ligne sur mon site sa démonstration : http://jbaglio.free.fr/maths/Groupes-IR.pdf


    cordialement,

    Julien
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  34. #28
    matthias

    Re : sous-groupe additif

    Je ne pense pas que ça chiffonait grand monde. Au vu de l'ensemble des posts c'est même plutôt évident.

  35. #29
    martini_bird

    Re : sous-groupe additif

    Citation Envoyé par matthias
    Je ne pense pas que ça chiffonait grand monde. Au vu de l'ensemble des posts c'est même plutôt évident.
    Ben en voilà une réponse!

    C'est quand même gentil de sa part d'avoir posté une démo! Il y aura peut-être de futurs lecteurs qui apprécieront de la lire...

    Cordialement.

  36. #30
    Gwyddon

    Re : sous-groupe additif

    euh... merci c'est gentil
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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