qu'est-ce qu'un sous-groupe additif?
j'ai la question suivante:
Montrer que les sous-groupes additifs de |R discrets sont de la forme
(discrets: d'intersection finie ou vide avec tout compact de |R)
{-a, 0, a} est bien un sous-groupe de |R muni de l'addition
il est bien d'intersection finie ou vide avec tout compact de |R, non?
(si un sous-groupe additif A doit vérifier a+a
un sous-groupe additif de IR est simplement un sous-groupe de (IR;+).
donc il doit bien vérifier a + a appartient à A
Pour le reste, c'est un exercice ultra classique (et même une propriété fondamentale), donc je te laisse chercher un peu..
Il est d'ailleurs intéressant de montrer aussi que tous les sous-groupes additifs de IR qui ne sont pas de cette forme sont partout denses dans IR.
OKOK
c'est vrai qu'avec
ouf j'ai eu peur
sinon, pour montrer que ce sont les seuls, je dis que les sous groupe discrets du type aZ sont, lorsqu'ils ne sont pas restreint à 0, minimals (il suffit de leur ajouter a pour que aZ lui soit alors inclus) et maximals (il suffit de leur ajouter un b pour que bZ lui soit alors ussi inclus). Ensuite il existe un infinité d'éléments (
sinon, c'est quoi {-a, 0, a}, ca a un nom en particulier?
désolé pour le 2ème sujet identique, je ne sais pas comment le supprimer
pour la densité, il faut que la borne inf soit nulle
Dernière modification par moijdikssékool ; 11/03/2005 à 10h42.
Houla. Dis simplement que si (A;+) est un groupe alors par définition (A;+) est un magma (la loi est interne) et donc que si a appartient à a, a+a appartient à a ...Envoyé par moijdikssékool
OKOK
c'est vrai qu'avec
Ce n'est vrai que si a/b est irrationnel.Ensuite il existe un infinité d'éléments (
Un ensemble ?
Oui.
Euh non désolé. Il existe bien une infinité de k1 et k2, pas nécessairement une infinité de k1a + k2b distincts ...
Moi ma démo fonctionne ainsi :
G sous-groupe additif de IR.
E = {x dans G/ x > 0}
a = inf(E)
1er cas: a appartient à E
On peut montrer que pour tout x de G, y = x - a.E(x/a) est nul
2ème cas: a n'appartient pas à E
On montre que a = 0, et que G est partout dense dans IR (donc pas discret)
Salut,
Non non,Il faut que ton sous-groupe soit stable pour l'addition: par exemple, que fais-tu de a+a, de a+a+a, etc? (à moins que a soit nul
)
Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par minimal et maximal : c'est pour quelle relation d'ordre ? (en tout cas, ce ne peut pas être pour l'inclusion)
ça veut dire quoi "on ne peut avoir aZ+bZ" ??Ensuite il existe un infinité d'éléments (
donc comme on ne peut avoir aZ+bZ, ce ne peut être que aZ
La borne inf des éléments strictements positifs.
Pour illustrer le fait que tous les sous-groupes additifs de R ne sont pas discrets (et donc du type aZ), il suffit de penser à Q, ou Q(sqrt(2)) ou Q(pi)...
pendant qu'on y est, sur le même thème :
"montrer que
cela peut être assez utile, et fournit un contre-exemple assez élégant à la proposition fausse "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé"
amusez vous bien !
Heu... pour quelle topologie (ou métrique)?
pour les sous-groupes de IR, je prend la métrique habituelle bien sûr.
oupendant qu'on y est, sur le même thème :
"montrer que
on peut en faire beaucoup comme ça
pendant qu'on y est, sur le même thème :
"montrer quePour la topologie usuelle de R je suppose, car ce n'est pas vrai pour la topologie de R en tant que Q espace vectoriel
Non, ce n'est pas un contre exemple à cette affirmation, car non seulement
Cette affirmation : "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé" est vraie si on rajoute comme hypothèse que A et B sont de dimension finie. Pour trouver des contre-exemples, on est obligé de faire appel à des sous espaces vectoriels infinis.
Tu te trompes, et je pense que c'est dû à mon imprécision : si je prend IR en tant que IR-espace vectoriel, Z et aZ sont des parties de IR, fermées, et pourtant Z+ aZ n'est pas fermé si a est rationnel.Pour la topologie usuelle de R je suppose, car ce n'est pas vrai pour la topologie de R en tant que Q espace vectoriel
Non, ce n'est pas un contre exemple à cette affirmation, car non seulement
Cette affirmation : "si A fermé, B fermé dans E espace vectoriel normé alors A+B fermé" est vraie si on rajoute comme hypothèse que A et B sont de dimension finie. Pour trouver des contre-exemples, on est obligé de faire appel à des sous espaces vectoriels infinis.
Donc la proposition "A fermé, B fermé dans E evn implique A+B fermé" est bien une proposition fausse
Il y quelque chose qui me chiffonne: Z+aZ est discret, non?
Je ne vois donc pas pourquoi il ne serait pas fermé.
Tu peux préciser 09Jul85, stp?
RECTIFICATION: j'ai dit une bêtise!!!
Post précédent à oublier, svp.
En fait si a est irrationnel, la suite [na] (où [.] est la partie entière) est dense dans [0,1], c'est ça?
je veux dire par là qu'il ne peut pas être plus petit (sans se restreindre à {0}) ni plus grand
euh j'ai compris ta question
en gros, pour avoir autre chose que {0}, on ajoute au minimum un réel a. Pour être un sous groupe additif de R, il devient aZ. Si on veut en rajouter un autre b (pas dans aZ), il faut rajouter bZ au minimum (suivant la même construction que pour aZ) et aZ+bZ n'est pas discret (si a et b sont premiers entre eux)
de toute façon, aZ+bZ = aZ U bZ
Houla non! Malheureux!
(contre-exemple: 2Z+3Z=Z car 1=3-2, mais 2Z U 3Z ne contient pas 1)
Revois un peu ton cours, il y a des choses que tu n'as pas comprises.
Cordialement.
Attention ici a et b sont des réels. En relisant les différents posts tu verras que aZ + bZ n'est pas discret si a/b n'est pas rationnel, ce qui n'est pas la même chose ...
Tu veux sans doute dire la suite na - E(na), où E est la partie entière.
Parce que la partie entière de na n'est pas nécessairement dans [0;1], mais bon c'est juste une étourderie
Et dans ce cas, oui l'ensemble des valeurs prises par la suite est dense dans [0;1]
Oui, je pensais effectivement à la partie fractionnaire.Tu veux sans doute dire la suite na - E(na), où E est la partie entière.
Parce que la partie entière de na n'est pas nécessairement dans [0;1], mais bon c'est juste une étourderie
Et dans ce cas, oui l'ensemble des valeurs prises par la suite est dense dans [0;1]
Merci.
Au fait moijdiksékool, tu as réussi à le démontrer ton problème ?
coucou,
si ce que j'ai lancé sur ce post vous chiffonne, j'ai mis en ligne sur mon site sa démonstration : http://jbaglio.free.fr/maths/Groupes-IR.pdf
cordialement,
Julien
Je ne pense pas que ça chiffonait grand monde. Au vu de l'ensemble des posts c'est même plutôt évident.
Ben en voilà une réponse!
C'est quand même gentil de sa part d'avoir posté une démo! Il y aura peut-être de futurs lecteurs qui apprécieront de la lire...
Cordialement.
euh... merci c'est gentil
