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sous-groupe engendré



  1. #1
    jameso

    sous-groupe engendré


    ------

    bonjour,
    j'ai un peu de mal à cerner la notion de sous groupe engendré (qui n'est pas si triviale que ça à mon avis)

    j'ai pu lire que <a>={a^n n dans Z} mais je ne vois bien ce qu'est cet ensemble? comment le décrire?

    dans le cas oû le sous groupe engendré par a est fini ça va ,mais dans le cas infini...

    je sais que ce sont des notions de base mais je les ai pas assimilées en temps voulu...
    et je me perds ensuite dans les définitions de monogène, générateur,cyclique....?

    merci
    jameso

    -----

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  3. #2
    ami-ma

    Re : sous-groupe engendré

    bonjour
    je pense que vous ête un élève de MPSI.
    le sous grope endré par a est le plus petit sous groupe qui peut contenire a (au sens d'inclusion)
    déf: G un groupe est B une prtie de ce groupe. il existe des sous-groupes de G qui contiennent B.L'intersection de ces sous-groupes forme encore un sous-groupe, et contient B. Ce sous-groupe intersection est donc le plus petit de tous les sous-groupes de G contenant B : on dit que c'est le sous-groupe engendré par

    en élement deu grupe engendré par a et de la forma a^k k entier.
    amicalement
    ami

  4. #3
    µµtt

    Re : sous-groupe engendré

    En notant additivement, dans (Z,+), tu as <2> = 2*Z sous groupe infini. 2Z est monogène.
    Plus généralement tout sous-groupe de (Z,+) est engendré par son plus petit élément > 0.

    (Z/pZ,+) est cyclique (clair, p 1er) mais aussi (Z/pZ*,*) ce qui n'est pas trivial

    Exo classique mais intéressant : quels sont les générateurs de (Z/pZ,+) ??

  5. #4
    jameso

    Re : sous-groupe engendré

    salut µµtt;
    donc si je comprends bien:

    pour tout sous-groupe qui peut s'écrire sous la forme <a> (fini ou pas) ,alors on pourra "trouver" tous les éléments de ce sous groupe à partir de a....

    est ce correct?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    folky

    Re : sous-groupe engendré

    c'est tout a fait ça

    "a" engendre le groupe

  8. #6
    µµtt

    Re : sous-groupe engendré

    Salut James,

    Oui !


    Tiens un facile : que peut-on dire des sous-groupes d'un groupe cyclique ?

    Un autre plus rigolo : que peut-on dire d'un groupe qui n'a qu'un nombre fini de sous-groupes ?

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  10. #7
    jameso

    Re : sous-groupe engendré

    bonjour, je relance ce sujet car j'ai encore une question en rapport avec le sujet des groupes

    dans un exo fait en TD on demandait s'il existait un sous-groupe de GL2(R) isomorphe à Z/2Z?

    la réponse est oui et on a proposé l'exemple suivant:

    le sous-groupe à deux éléments avec les matrices
    (1 0)
    (0 1)

    (-1 0)
    (0 1)

    première chose: je sais qu'il existe un seul groupe à deux éléments (à isomorphisme près) mais comment a-t-on trouvé ce sous-groupe?

    deuxième chose: je crois savoir que tout groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à Z/nZ mais comment le démontre-t-on?
    je pense que c'est comme ça qu'on a trouvé notre exemple mais je n'en suis pas sur...

    pouvez m'eclaircir les idées sur ce sujet
    merci
    jameso

  11. #8
    µµtt

    Re : sous-groupe engendré

    >> un seul groupe à deux éléments (à isomorphisme près)

    C'est forcément { e, u } avec u² = e. Ils sont donc tous pareils.

    >> tout groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à Z/nZ

    G = <a> avec a^n = e

    f : Z -> G, f(k)=a^k, morphisme surjectif. f/Kerf ~Z/nZ ~ G.

  12. #9
    Jarod54

    Question Re : sous-groupe engendré

    Exo classique mais intéressant : quels sont les générateurs de (Z/pZ,+) ?
    Pour moi,


    par suite les ensembles solutions sont les ensembles tels que
    , x s'écrit comme combinaison linéaire de F

    Est-ce correct ?

  13. #10
    mimi92

    Re : sous-groupe engendré

    svp. j'ai besoin d'un grand aide sur cette exo.
    Soient G un groupe et g∈G.on appelle centraliseur de g l^' ensembleC_G (g)={x∈G;xg=gx}.
    on appelle centre de G l'ensemble Z(G)={x∈G; g∈G,xg=gx} .
    1-Montre que C_G (g) et Z(G)sont des sous groupes de G.

  14. #11
    Seirios

    Re : sous-groupe engendré

    Bonjour,

    Les deux preuves sont identiques, il suffit de montrer que les ensembles sont stables par produit et par inversion. Pour : Soient , et implique par multiplication à gauche par , puis par multiplication à droite : .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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