Injection, bijection.

[inviteaa7fccc7]

Bonsoir a tous,

j'ai un exercice qui demande de montrer
que A est inclu dans f^-1 (f(A)) je voudrais savoir si ma méthode est correcte.

Voila comment je procède :

Soit x € A
=> f(x)€ f(A)
=>f^-1(f(x))€f^-1(f(A))

comme
f^-1(f(x)) = x => x € f^-1(f(A)) => A est inclu dans f^-1(f(A))


Voila est-ce bon ? (j'utilise le fait que A1 inclu dans A2 => f(A1) c f(A2) (et pareil pour la fonction reciproque))

merci beaucoup
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[invite899aa2b3]

Bonsoir,
oui c'est correct. Vois-tu à quelle condition on a l'inclusion réciproque?

[invite1e1a1a86]

Pour ma part, ceci n'est pas correct.
f n'est pas supposée bijective et donc n'est pas juste
d'ailleurs pour "pinailler" quel sens donner à ceci il faudrait rajouter des accolades puisqu'on prend le d'un ensemble dans ce cas... et donc écrire
néanmoins et c'est ce qu'on veut montrer.

Pour moi, il faudrait écrire:
on pose
Pour tout élément
alors par définition.

et donc, x est un élément de puisque f(x) est dans B.

[invite899aa2b3]

En effet, j'aurais du lire au-delà de la deuxième ligne.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

donc écrire

Ne serait-ce pas plutôt : ?

[invite1e1a1a86]

au choix non?

la différence est (dans ce cas) minime puisque est l'ensemble des images de x et est donc l'image de l'ensemble: (comme on noterais ) puisque f est une application (un élément => une seule image).

[Médiat]

Si vous considérez que la différence est minime, alors la différence avec l'écriture sans aucune accolade est à peine moins minime ; ce qui est important dans cette écriture c'est de bien montrer que f^-1 n'existe peut-être pas, en tant que fonction, ce qui n'empêche pas f^-1(A) où A est un ensemble, d'exister, le point sur lequel il faut appuyer c'est que l'objet dont on prend l'image réciproque est un ensemble (afin que cette image réciproque existe toujours), et la meilleure façon de l'exprimer est bien .

Diminuer le risque d'ambiguité, c'est améliorer la clareté.

[invite1e1a1a86]

J'approuve en partie.

Il est plus clair de d'écrire.

Néanmoins, le point bien important est bien que n'existe peut être pas en tant que fonction mais d'un ensemble existe.

et puisque (néanmoins, différent conceptuellement de qui n'est pas un ensemble mais un élément)...

Mais j'approuve, pour améliorer la clarté, écrivons

[inviteaa7fccc7]

Bonjour a tous, merci pour vos réponses, j'ai pu comprendre un point important avec cette erreur ...

Pour mieux comprendre j'ai tout simplement essayer de visualiser avec une fonction, et du coup ça paraît évident qu'il existe des y dans f(A) tel que x n'appartient pas a A, (un des antécédents peut ne pas etre dans A)

Je vais donc vous proposer une autre demonstration mais j'ai quand meme un peu de mal a l'expliquer ...

Soit x € A
Quelque soit Y € f(A) il existe X € A / f^-1(y) =x (il existe mais n'est pas forcément unique donc il en existe peu etre d'autre qui n'appartiennent pas a A, mais il y en a au moins un)

=> {x€A / f^-1(y) =x } appartient à f^-1(f(A)) (c'est la ou je pense que c'est pas forcément clair .... )

donc A est inclu dans f^-1(f(A)) ( car {x€A / f^-1(y) =x } = A)


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SchliesseB on a bien f^-1(f(x)) =x si la fonction est juste injective ?


Merci beaucoup pour votre aide

[invite1e1a1a86]

Si la fonction est injective, on a bien

[inviteaa7fccc7]

Je viens de continuer l'exercice qui propose justement ce que demandait girdav

montrer que ( quelquesoit A € P(E), f^-1(f(A)) = A }) <=> f injective.

le but est donc de montrer l'inclusions réciproque.

Je vais pas tout de suite poster ma réponse, mais j'ai remarqué un point qui me paraissait pas du tout important et je crois que j'ai compris mais je voudrais que vous me confirmiez ... c'est le A € P(E) je me suis dit mais qu'est-ce que ca change par rapport a A€ E.

Est-ce que, si A€ E on peut avoir f^-1(f(A)) est inclu A sans que la fonction soit injective : Si on prend une fonction surjective SEULEMENT sur l'intervale A , tous les antécédents de f(A) sont dans A... donc
f^-1(f(A)) est inclu dans A est vrai.

est-ce que cela est vrai ??

Merci beaucoup

[invite1e1a1a86]

Si , A est alors un élément de E et donc on l'appelera x pour plus de clarté.

Dans ce cas, n'est pas défini dans le cas général. Il faut prendre le d'un ensemble. Par exemple de l'ensemble qui n'a que l'élément qu'on note .
A ce moment est bien définie et c'est l'ensemble des éléments qui ont f(x) pour image (et qui contient donc x évidemment).

Maintenant, si f est injective, alors cet ensemble n'a au plus qu'un seul élément et donc

On a donc prouver que si f est injective:
pour peu que A ne contiennent qu'un seul élément ().

Reste à le montrer pour toutes parties de E.
Connais tu la différence entre E et partie de E?
Quels sont les parties de E={1,2,3}? les éléments de E={1,2,3}?
Peux tu donner des parties de ? des éléments de ?