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bijection, injection et surjection. Help please



  1. #1
    stross

    Exclamation bijection, injection et surjection. Help please

    Bonsoir tout le monde

    Je me pose quelque question en ce moment même qui sont encore sans réponse malgrès ma recherche sur internet.

    J'ai vue la propriété que la composée de bijection est une bijection. J'aimerai trouver la démonstration s'il vous plait. Je ne l'ai trouvé nulle part.

    Par ailleurs j'ai trouvé sur wikipedia [je m'en méfie c'est pour cela que je vous pose la question ] ils disent que la composée d'une injective et d'une surjective est une bijective. Voici le copier collé :

    " La composée de deux bijections est une bijection mais inversement, si la composée de deux applications est une bijection, on peut seulement en déduire que l'une est une injection et l'autre une surjection. "

    Pour tenter de vérifier cela j'ai fait comme démo.

    Soit f l'application de E dans F et g l'application de F dans G

    Si g ¤ f injective alors f injective, je commence par démontrer cela d'une part puis d'autre part je démontre que si g ¤ f est surjective, alors g est surjective. [ je vais me passer de la démo mais si vous la désirez je peux la faire.

    Et ensuite si g ¤ f est surjective et injective à la fois elle est donc bijective. Et comme je viens de le dire juste à l'instant f est injective [ car g ¤ f est injective ] et g est surjective [ car g ¤ f est aussi surjective ]

    Pourrais-je avoir un exemple de votre part ? Merci beaucoup.

    Merci du temps que vous prenez, mais ça me votre aide me permettrais d'avoir la conscience tranquil

    Cordiallement

    -----

    Dernière modification par stross ; 13/08/2008 à 22h20. Motif: Rectification [lumiere ]

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  3. #2
    Forhaia

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Bonsoir,

    "La composée de deux bijections est une bijection"

    Soit deux bijections f et g.
    f: E F
    et g: F G

    On va montrer que gof est bijective

    Comme g est bijective, tout élément de G a un unique antécédent dans F, mais comme f est bijective, tout élément de F (et en particulier notre unique antécédent) a un unique antécédent dans E. Donc tout élément de G a un unique antécédent dans E par l'application gof. Donc gof est une bijection de E sur G

  4. #3
    Guillaume69

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Bonsoir

    Je réponds juste à la première question.Si j'ai plus de temps que prévu, je répondrais à la seconde.




    et bijectives bijective ?
    Soit .
    est bijective
    est bijective

    Donc : est bijective.

    Edit : 23h39 tous les deux, ça s'est joué à la seconde...

  5. #4
    taladris

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Salut!

    Si on prend n et p deux entiers avec n<p, E={1,...,n}=G, F={1,...,p}, puis et définie par f(k)=k et g(k)=k si et g(k)=1 sinon, on a:
    -> f est injective non surjective
    -> g est surjective non injective
    -> est bijective (c'est l'identité)

    Cordialement

  6. #5
    Hamb

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Je ne suis pas convaincu par votre démonstration guillaume et forhaia, je crois bien qu'on est obligé de séparer injectivité/surjectivité pour démontrer ce résultat. Apres peut etre que je me trompe et que ce que vous dites est correct.
    Après un deuxième coup d'oeil en fait ca m'a l'air bon ^^ (mais je trouve plus rigoureux de séparer injectivité et surjectivité)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    stross

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Je vous remercie pour vos réponse qui sont très rapides et précise. Toutefois Taladris je ne comprends pas vraiment. Pourrais-tu me réexpliquer s'il te plait ???

    Merci d'avance

    Cordialement

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  10. #7
    FonKy-

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Citation Envoyé par Hamb Voir le message
    Je ne suis pas convaincu par votre démonstration guillaume et forhaia, je crois bien qu'on est obligé de séparer injectivité/surjectivité pour démontrer ce résultat. Apres peut etre que je me trompe et que ce que vous dites est correct.
    Non je pense que ce qu'ils disent est correct. Ça se visualise bien , je trouve. Tu prend n'importe quel élément de G, tu sais qu'il a un unique antécédent dans F par la fonction g, de même cet antécédent possède lui aussi un antécédent unique dans E grâce à la bijectivité de f. En conclusion, ya de l'unicité de partout et donc ton élément quelconque de départ dans G, possède un unique antécédent par la fonction gof. En conclusion, gof est bijective.

    (oups bah en fait j'ai répété ce qu'a dit Forahia )

  11. #8
    Hamb

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    ouais enfin pour moi ca revient un peu au même que de faire un patatoïde pour une démonstration ensembliste ca me plait pas trop ^^

  12. #9
    FonKy-

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Citation Envoyé par Hamb Voir le message
    ouais enfin pour moi ca revient un peu au même que de faire un patatoïde pour une démonstration ensembliste ca me plait pas trop ^^
    roh tu m'a l'air difficile Hamb
    avec quel instrument de toture pourrai-je te convaincre xD
    Je sais pas vraiment comment t'aider plus alors.. pourtant Guillaume a bien détaillé avec les symboles mathématiques en plus.

  13. #10
    Hamb

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Comme je l'ai dit je trouve ca correct, c'est jsute que ca ne me plait pas, mais si on s'arretait chaque fois que ca plait pas a quelqu'un hein xD

  14. #11
    FonKy-

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Citation Envoyé par Hamb Voir le message
    ouais enfin pour moi ca revient un peu au même que de faire un patatoïde pour une démonstration ensembliste ca me plait pas trop ^^
    roh tu m'a l'air difficile Hamb
    avec quel instrument de toture pourrai-je te convaincre xD
    Je sais pas vraiment comment t'aider plus alors.. pourtant Guillaume a bien détaillé avec les symboles mathématiques en plus.

  15. #12
    stross

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    Salut!

    Si on prend n et p deux entiers avec n<p, E={1,...,n}=G, F={1,...,p}, puis et définie par f(k)=k et g(k)=k si et g(k)=1 sinon, on a:
    -> f est injective non surjective
    -> g est surjective non injective
    -> est bijective (c'est l'identité)

    Cordialement
    Une question :

    f est injective car tout élément de F n'a pas un antécédent dans E

    g est surjective, car tout élément de G a un antécédent dans F, de plus elle n'est pas injective car f(k)=1 admet plusieurs solution ?

    De plus je n'ai pas vraiment compris pourquoi g ¤ f est bijective à partir de cela ?

    Est ce parceque quelque soit k appartenant à E, f(k)=k
    alors g ¤ f = g[f(k)]= g(k)=k mais alors???? je ne vois pas la bijectivité

    Il faudrait préciser l'ensemble de définition de G ?

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  17. #13
    Guillaume69

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Bonjour,

    Passer par l'injectivité et la surjectivité serait beaucoup plus long. Ca aurait effectivement eu le mérite de démontrer qu'une composée d'injections(resp. surjections est une injection (resp. surjection), mais ce n'était pas la question

    Où est-ce que ça ne te plait pas ? S'il y a une chose fausse, dis moi où ^^
    Je n'ai pas dessiné de patates, j'ai utilisé une définition. Je vois difficilement comment faire plus rigoureux.

  18. #14
    Hamb

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Citation Envoyé par Guillaume69 Voir le message
    est bijective

    Donc : est bijective.
    voilà c'est ici que ca me gene, et je ne dis pas que c'est faux, c'est juste que le donc n'est pas une évidence pour moi (et c'est pour ca que ca ne me plait pas, c'est juste une lubie de ma part et il vaut mieux ne pas en tenir compte).
    Et si on démontre que la composée de 2 injections (resp surjections) est une injection (resp surjection), on aura démontré que la composée de 2 bijections est une bijection, donc ca marche également.

  19. #15
    Guillaume69

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Citation Envoyé par stross Voir le message
    Une question :

    f est injective car tout élément de F n'a pas un antécédent dans E

    g est surjective, car tout élément de G a un antécédent dans F, de plus elle n'est pas injective car f(k)=1 admet plusieurs solution ?

    De plus je n'ai pas vraiment compris pourquoi g ¤ f est bijective à partir de cela ?

    Est ce parceque quelque soit k appartenant à E, f(k)=k
    alors g ¤ f = g[f(k)]= g(k)=k mais alors???? je ne vois pas la bijectivité

    Il faudrait préciser l'ensemble de définition de G ?
    On reprend :

    f est injective, car toute image de f a un unique antécédant dans E. Autre manière de dire : aucun élément de F n'a la même image par f.
    f n'est pas surjective, car tout élément de F n'a pas au moins un antécédent dans E. n+1, n+2, ... p n'ont pas d'antécédent.

    g est surjective : tout élément de G a au moins un antécédent dans E
    g est non injective : tout élément de G n'a pas un unique antécédent. 1 possède p-n antécédants (n+1, n+2, ... , n+p)

    Or, est la fonction identité, c'est-à-dire la fonction qui a tout élément de E associe lui même dans G.
    Autre manière de dire : .
    Dès lors, il est évident que est bijective (car pour tout élément de G, il n'existe qu'un seul élément de E égal à lui même : lui même !!
    Autrement dit : )

    Guillaume

  20. #16
    Guillaume69

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Citation Envoyé par Hamb Voir le message
    voilà c'est ici que ca me gene, et je ne dis pas que c'est faux, c'est juste que le donc n'est pas une évidence pour moi
    C'est normal que ça ne paraisse pas une évidence, vu qu'en fait il y a une faute >_<
    est bijective et non pas
    Après, il suffit de composer par g et on obtient ce qu'il faut.

    Et si on démontre que la composée de 2 injections (resp surjections) est une injection (resp surjection), on aura démontré que la composée de 2 bijections est une bijection, donc ca marche également.
    J'ai jamais dis que ça marchait pas, mais c'est deux fois plus long

  21. #17
    stross

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Je vous remercie beaucoup. Pour la composé g ¤ f je vais tenter un exemple :

    Soit f(x)=x
    et f est l'application de R+ dans R .
    Donc f est injective, non surjective. [ car -1 n'a pas d'antécédent ]

    Soit g(x)=x²
    et g est l'application de R dans R+
    Donc g est surjective non surjective [car f(-1)=f(-1)

    Et si l'on fait g ¤ f qui est l'application de R+ dans R+, elle est injective et surjective et donc Bijective.

    C'est bien cela ????

  22. #18
    taladris

    Re : bijection, injection et surjection. Help please

    Citation Envoyé par stross Voir le message
    Je vous remercie beaucoup. Pour la composé g ¤ f je vais tenter un exemple :

    Soit f(x)=x
    et f est l'application de R+ dans R .
    Donc f est injective, non surjective. [ car -1 n'a pas d'antécédent ]

    Soit g(x)=x²
    et g est l'application de R dans R+
    Donc g est surjective non surjective [car f(-1)=f(-1)

    Et si l'on fait g ¤ f qui est l'application de R+ dans R+, elle est injective et surjective et donc Bijective.

    C'est bien cela ????
    Tout à fait (mis à part quelques fautes de frappe: g est surjective non injective car f(-1)=f(1) )
    Ton exemple est plus clair que le mien

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