Sous-groupe engendré.

[invitee0cfa2c5]

Bonjour à toutes et à tous, je suis nouvelle.

Voilà mon problème.
Soit un élément d'un groupe. Le sous-groupe engendré par est

J'ai compris la proposition qui dit que si l'on considère une partie d'un groupe alors

Mais de là à l'appliquer à
J'ai bien :

Mais après ?
Merci de vos lumières.
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[invitef4181796]

Si x est élément d'un groupe G, le sous groupe de G engendré par x est le plus petit sous groupe de G, qui contient x. Si on appelle H ce sous groupe, alors H doit contenir toutes les puissances positives de x, toutes les puissances poisitives de l'inverse de x, ainsi que l'élement neutre. C'est donc bien ce que tu proposes, sauf que tu oublies l'élément neutre. Remplace N* par N dans ta définition de <x>, et c'est correct. (x puissance 0 est l'élémént neutre). Voila, j'espére que cela t'aide.

[invitee0cfa2c5]

Merci pour cette réponse rapide.

Si on appelle H ce sous groupe, alors H doit contenir toutes les puissances positives de x, toutes les puissances poisitives de l'inverse de x, ainsi que l'élement neutre.

Je suis d'accord, comme tout sous-groupe digne de ce nom.

C'est donc bien ce que tu proposes, sauf que tu oublies l'élément neutre. Remplace N* par N dans ta définition de <x>, et c'est correct.

Pourquoi remplacer par ? Que signifierait alors ?

Ce que je voudrais comprendre, c'est comment je pourrais passer de

à

Edit : ce que je veux dire, c'est : quelles seraient les lignes intermédiaires de raisonnement.

[invitef4181796]

Bon, laissons de côté N ou N*, pour le moment. Si H contient x, et est un groupe, il doit contenir aussi le produit de x par lui même,donc , puis le produit de par x, donc , etc... De proche en proche (par récurrence, si tu préféres), H doit contenir toutes les puissances positives de x.
Comme H est un groupe, il doit aussi contenir les inverses de toutes les puissance positives de x, donc les puissances négatives de x. Enfin, puisque H est un groupe, il contient aussi par exemple, , c'est à dire l'élément neutre.
Enfin, une puissance positive de x, c'est une puissance négative (avec la même valeur absolue) de [TEX] x^{-1}[TEX], c'est comme cela que l'on passe de N à Z (si j'ai bien compris ta question)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0cfa2c5]

Encore merci pour cette réponse rapide.

Bon, d'après ton premier paragraphe, contient , parce qu'un sous-groupe est stable par produit.
L'autre inclusion est évidente, ok.

C'est ce que j'avais pensé à ma première lecture. Mais en revenant à la proposition susmentionnée, j'entends plutôt à la description qu'elle donne de , je ne m'en sortais pas : comment "transformer" le ?

Je suis trop bête alors à vouloir faire ça.

[invitef4181796]

Encore merci pour cette réponse rapide.

Bon, d'après ton premier paragraphe, contient , parce qu'un sous-groupe est stable par produit.
L'autre inclusion est évidente, ok.

C'est ce que j'avais pensé à ma première lecture. Mais en revenant à la proposition susmentionnée, j'entends plutôt à la description qu'elle donne de , je ne m'en sortais pas : comment "transformer" le ?

Je suis trop bête alors à vouloir faire ça.

Non, absolument pas. Je crois que tu as compris ce qu'est H, c'est le point important; le reste, c'est un probléme de notations. Lorsque tu retranscris ta définition de <S> (qui est correcte) pour , tu ne dois pas noter de la même façon les variables courantes et x. Je crois que c'est cela qui crée la confusion dans la suite. Si tu écris las choses avec soin, tu obtiens:

Ce qui correspond bien à notre définition de H. Avec cette écriture, de plus, pas besoin de remplacer N* par N.

[invitee0cfa2c5]

Voilà, c'est plus clair maintenant.
Merci BEAUCOUP !