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homotopies sur les spheres de dimension n



  1. #1
    humanino

    homotopies sur les spheres de dimension n


    ------

    Bonjour,

    je suis en train de lire "Elements de topologie algébrique" de Claude Godbillon (collection Méthodes, ed. Hermann). Chapitre IV "Homotopie", exercice suivants l'exemple 1.3
    Deux applications continues et d'un espace dans dans la sphere telles que pour tout sont homotopes.
    C'est tout à fait intuitif (bien que j'aurais formulé le théorème en disant ...). Je me dis que, si et ne sont pas diamètralement opposés, alors je peux sans ambigüité définir un unique chemin de l'un à l'autre sur la sphère. Même, c'est très visuel en dimension 1, on voit que les deux fonctions auront le même "nombre d'enroulement".

    Mais je ne trouve pas rigoureusement comment construire l'homotopie entre et . J'en rage

    Si voulez bien m'aider, je vous en remercie par avance

    -----
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  2. #2
    modulaire

    Re : homotopies sur les spheres de dimension n

    Prends . Ici t est le paramétre de l'homotopie (il varie entre 0 et 1)
    La fonction g ne s'annule pas grâce aux hypothéses de l'exo. Tu peux alors normaliser en divisant par le module de . Et voila!
    (On peut aussi, je pense donner un argument complétement abstrait à coups de rétractions, mais là je vois pas vraiment l'interêt.)
    Gentlemen: there's lots of rooms left in Hilbert space (S. Mac Lane)

  3. #3
    homotopie

    Re : homotopies sur les spheres de dimension n

    Bonjour,
    Citation Envoyé par humanino

    j'aurais formulé le théorème en disant ...).
    Peut-être bien que ce n'est pas formulé ainsi parce que c'est faux pour les sphères de dimension paire
    Contre-exemple, les applications identité et "inversion" (x->-x) ne sont pas homotopes.
    Citation Envoyé par humanino
    Je me dis que, si et ne sont pas diamètralement opposés, alors je peux sans ambigüité définir un unique chemin de l'un à l'autre sur la sphère.
    Très juste et la solution donnée par modulaire est la plus simple (et à mon goût la plus élégante : inutile de compliquer)
    Citation Envoyé par humanino
    Même, c'est très visuel en dimension 1, on voit que les deux fonctions auront le même "nombre d'enroulement".
    1) Késako? Je sais à peu près ce qu'est le nombre d'enroulement d'un cercle (et en généralisant d'une sphère) autour d'un espace (ce n'est pas très rigoureux dit comme ça non plus d'ailleurs). Mais qu'est-ce qu'un enroulement d'un espace (autre que le cercle lui-même) autour du cercle dans le cas suivant, par exemple, un morphisme de groupes du tore sur le cercle dont un générateur est de degré 2 (s'enroule deux fois) et un de degré 3 : 2, 3, tous les entiers ?
    2) Quand on travaille sur les sphères de manière générale ne jamais se limiter au seul cercle (au moins la sphère de dimension 2 pour raison de propriété distincte entre les dimensions paire et impaire)

    Cordialement

  4. #4
    humanino

    Re : homotopies sur les spheres de dimension n

    Citation Envoyé par modulaire
    . Ici t est le paramétre de l'homotopie (il varie entre 0 et 1)
    La fonction g ne s'annule pas grâce aux hypothéses de l'exo. Tu peux alors normaliser en divisant par le module de . Et voila!
    (On peut aussi, je pense donner un argument complétement abstrait à coups de rétractions, mais là je vois pas vraiment l'interêt.)
    Ah mais voilà, bien sûr !
    Merci
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    humanino

    Re : homotopies sur les spheres de dimension n

    Citation Envoyé par homotopie
    Peut-être bien que ce n'est pas formulé ainsi parce que c'est faux pour les sphères de dimension paire
    Contre-exemple, les applications identité et "inversion" (x->-x) ne sont pas homotopes.
    Ah, oops je n'ai pas fait attention à cela !
    1) Késako? Je sais à peu près ce qu'est le nombre d'enroulement d'un cercle (et en généralisant d'une sphère) autour d'un espace (ce n'est pas très rigoureux dit comme ça non plus d'ailleurs). Mais qu'est-ce qu'un enroulement d'un espace (autre que le cercle lui-même) autour du cercle dans le cas suivant, par exemple, un morphisme de groupes du tore sur le cercle dont un générateur est de degré 2 (s'enroule deux fois) et un de degré 3 : 2, 3, tous les entiers ?
    Je parlais de "l'enroulement" d'une application continue de X sur le cercle en supposant que X à la même dimension que la sphere (ici 1). Donc j'avais une relation d'ordre sur X dans ce cas particulier, mais là je me rends compte qu'il n'est pas nécessaire que X ait la même dimension que la sphère !

    Quand on travaille sur les sphères de manière générale ne jamais se limiter au seul cercle (au moins la sphère de dimension 2 pour raison de propriété distincte entre les dimensions paire et impaire)
    merci pour le conseil !

    Il va falloir que je me méfie de mon intuition qui me joue des tours
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

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