Symétrie dans R³

[Bleyblue]

Bonjour,

Il paraît que la matrice :



représente dans la base canonique de une symétrie par rapport à une droite et je suis sensé trouver l'équation de cette droite.

Je ne comprends pas parceque dans mon cours il y a un théorème qui dit que toute isométrie centrée de R³ est :

- Soit une rotation
- Soit une antirotation c'est à dire :

1) Une symétrie centrée en O
2) Une symétrie bilatérale d'axe M(1) (M(1) désigne le sous espace propre de valeur propre 1 de M)

- Soit une composée de rotation et de symétrie

Il n'est donc pas question de symétrie axiale et du reste M n'admet pas la valeur propre 1.

Qu'est ce que ça veut dire ? Je n'y comprend rien

merci
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[invitedf667161]

Salut, après calcul je trouve que 1 est bien valeur propre, poly caractéristique égal à une constante fois :

-X^3 - X^2 + X + 1

Je pense que tu es dans le cas 2)

[Bleyblue]

Ouille oui je me suis trompé dans mon calcul de valeurs propres

Je ne sais pas ce que j'ai pour le moment mais je me trompe dans tous mes calculs

merci

[Bleyblue]

Oui donc v(1) = vect{(-1,2,1)} ce qui détermine la droite :

x = z
y = -2z

Comment pourrais-je vérifier que c'est bien juste ça ?
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Bah je prends le milieu des points p1(1,0,0) et p2(-2/3,2/3,-1/3) et je vérifie que le point appartient bien à la droite

[Bleyblue]

C'est bon (j'ai juste fait une erreur de signe quand j'ai écrit l'équation de la droite :

x = -z
y = -2z
)

merci

[invite35452583]

Je ne comprends pas parceque dans mon cours il y a un théorème qui dit que toute isométrie centrée de R³ est :

- Soit une rotation
- Soit une antirotation c'est à dire :

1) Une symétrie centrée en O
2) Une symétrie bilatérale d'axe M(1) (M(1) désigne le sous espace propre de valeur propre 1 de M)

- Soit une composée de rotation et de symétrie

Il n'est donc pas question de symétrie axiale et du reste M n'admet pas la valeur propre 1.

Qu'est ce que ça veut dire ? Je n'y comprend rien

merci

Bonjour, juste une remarque, une symétrie axiale dans l'espace (dim=3) est une rotation.

[invite52c52005]

Bonjour, juste une remarque, une symétrie axiale dans l'espace (dim=3) est une rotation.

Bonsoir,

Comme, dans le plan, une symetrie centrale est une rotation.

[Bleyblue]

Ah oui

Il faudrait que j'aille revoir les définitions de symétrie axiale, bilatérale, centrale moi
J'ai vu ça il y a des années et ça n'a plus jamais été rappelé, je dois revoir

merci