Bonsoir,
je me demande quelle est la dimension de l'ensemble des endomorphismes de E où E est un espace vectoriel de dimension n.
N'est-ce pas n2? Si oui, pouvez-vous me le démontrer?
merci!
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Bonsoir,
je me demande quelle est la dimension de l'ensemble des endomorphismes de E où E est un espace vectoriel de dimension n.
N'est-ce pas n2? Si oui, pouvez-vous me le démontrer?
merci!
Oui bien sûr c'est n². Pour le démontrer tu construit l'application linéaire qui va de L(E) dans Mn(K) (ensemble des matrice d'orde n) : cette application est clairement un isomorphisme d'ev, donc les 2 espaces ont même dimension. Et dim (Mn(K)) = n².
Le tour est joué!!
Draune
Et pourquoi la dimension de l'ensemble des polynômes de degré inférieur à n est n+1?
Salut,
Tu peux très simplement faire une bijection avec Rn+1. Il suffit d'associer à un polynôme ses coefficients.
Encore une victoire de Canard !
Je ne vois pas bien le rapport. Peux-tu m'expliquer un peu plus en détail? D'autre part, qu'est-ce qu'une base canonique?
Je fais une fonction qui à un polynôme a0 + a1 X + ... + an Xn associe (a0, a1, ..., an). Cette fonction est une bijection de Rn[X] dans Rn+1, donc Rn[X] est de dimension n+1.
On peut aussi essayer de trouver une base. Dans ce cas, la base la plus intuitive qu'on peut prendre est appelée base canonique : {1, X, X², ..., Xn}. Et tu vois qu'elle a n+1 éléments.
Encore une victoire de Canard !
Mais la définition générale d'une base canonique, qu'est-ce que c'est?
Et je me demande aussi si l'ensemble des automorphismes de E muni de la loi + et de la loi rond est un espace vectoriel? Il me semble que non car la loi rond est une loi de composition interne.
En effet ce n'en est pas un. Par contre ça la tête d'un corps.
Pour ta question sur les bases canoniques, ça n'a pas de sens strict. C'est juste disons "la" base la plus usuelle.
Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
ta démonstration est erronnée mon petit Draune.Envoyé par Draune
Oui bien sûr c'est n². Pour le démontrer tu construit l'application linéaire qui va de L(E) dans Mn(K) (ensemble des matrice d'orde n) : cette application est clairement un isomorphisme d'ev, donc les 2 espaces ont même dimension. Et dim (Mn(K)) = n².
Le tour est joué!!
Draune
Il faut juste dire qu'une matrice représente une application linéaire.
Donc la dimension de l'ensembles des applications linéaires est n^2 . CQFD
Envoyé par Chokaolic
Et je me demande aussi si l'ensemble des automorphismes de E muni de la loi + et de la loi rond est un espace vectoriel?Il faudrait déjà que la loi + soit interne.Envoyé par GuYem
En effet ce n'en est pas un. Par contre ça la tête d'un corps.
En quoi sa démonstration est-elle erronée selon toi ?Envoyé par Ravioli
ta démonstration est erronnée mon petit Draune.
Il faut juste dire qu'une matrice représente une application linéaire.
Donc la dimension de l'ensembles des applications linéaires est n^2.
Et que peut bien vouloir dire qu'une matrice représente une application linéaire sinon qu'il existe un isomorphisme entre les deux espaces ?