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dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n



  1. #1
    Chokaolic

    dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n


    ------

    Bonsoir,
    je me demande quelle est la dimension de l'ensemble des endomorphismes de E où E est un espace vectoriel de dimension n.
    N'est-ce pas n2? Si oui, pouvez-vous me le démontrer?
    merci!

    -----

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  3. #2
    Draune

    Re : dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n

    Oui bien sûr c'est n². Pour le démontrer tu construit l'application linéaire qui va de L(E) dans Mn(K) (ensemble des matrice d'orde n) : cette application est clairement un isomorphisme d'ev, donc les 2 espaces ont même dimension. Et dim (Mn(K)) = n².
    Le tour est joué!!
    Draune

  4. #3
    Chokaolic

    Re : dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n

    Et pourquoi la dimension de l'ensemble des polynômes de degré inférieur à n est n+1?

  5. #4
    Coincoin

    Re : dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n

    Salut,
    Tu peux très simplement faire une bijection avec Rn+1. Il suffit d'associer à un polynôme ses coefficients.
    Encore une victoire de Canard !

  6. #5
    Chokaolic

    Re : dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n

    Je ne vois pas bien le rapport. Peux-tu m'expliquer un peu plus en détail? D'autre part, qu'est-ce qu'une base canonique?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Coincoin

    Re : dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n

    Je fais une fonction qui à un polynôme a0 + a1 X + ... + an Xn associe (a0, a1, ..., an). Cette fonction est une bijection de Rn[X] dans Rn+1, donc Rn[X] est de dimension n+1.
    On peut aussi essayer de trouver une base. Dans ce cas, la base la plus intuitive qu'on peut prendre est appelée base canonique : {1, X, X², ..., Xn}. Et tu vois qu'elle a n+1 éléments.
    Encore une victoire de Canard !

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  10. #7
    Chokaolic

    Re : dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n

    Mais la définition générale d'une base canonique, qu'est-ce que c'est?

  11. #8
    Chokaolic

    Re : dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n

    Et je me demande aussi si l'ensemble des automorphismes de E muni de la loi + et de la loi rond est un espace vectoriel? Il me semble que non car la loi rond est une loi de composition interne.

  12. #9
    GuYem

    Re : dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n

    En effet ce n'en est pas un. Par contre ça la tête d'un corps.

    Pour ta question sur les bases canoniques, ça n'a pas de sens strict. C'est juste disons "la" base la plus usuelle.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  13. #10
    Ravioli

    Re : dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n

    Citation Envoyé par Draune
    Oui bien sûr c'est n². Pour le démontrer tu construit l'application linéaire qui va de L(E) dans Mn(K) (ensemble des matrice d'orde n) : cette application est clairement un isomorphisme d'ev, donc les 2 espaces ont même dimension. Et dim (Mn(K)) = n².
    Le tour est joué!!
    Draune
    ta démonstration est erronnée mon petit Draune.

    Il faut juste dire qu'une matrice représente une application linéaire.

    Donc la dimension de l'ensembles des applications linéaires est n^2 . CQFD

  14. #11
    matthias

    Re : dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n

    Citation Envoyé par Chokaolic
    Et je me demande aussi si l'ensemble des automorphismes de E muni de la loi + et de la loi rond est un espace vectoriel?
    Citation Envoyé par GuYem
    En effet ce n'en est pas un. Par contre ça la tête d'un corps.
    Il faudrait déjà que la loi + soit interne.

  15. #12
    matthias

    Re : dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n

    Citation Envoyé par Ravioli
    ta démonstration est erronnée mon petit Draune.

    Il faut juste dire qu'une matrice représente une application linéaire.

    Donc la dimension de l'ensembles des applications linéaires est n^2.
    En quoi sa démonstration est-elle erronée selon toi ?
    Et que peut bien vouloir dire qu'une matrice représente une application linéaire sinon qu'il existe un isomorphisme entre les deux espaces ?

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