exo sur les expos

[invitea4cc3a85]

salut, j'aurais besoin qu'on me guide pour mon exo svp.
voila le problème :

Connaissant f(x)= (2+cos(x)-sin(x))e^1-x

1°a)Montrer que pour tout réel x :

cos(x)-sin(x)= (racine de 2)cos(x+pi/4)

1°b) En déduire l'existence de deux nombres réels strictement positifs 1 & B tels que pour tout x appartenant à |R :

Ae^1-x < f(x) < Be^1-x

1°c)Déterminer la limite de f en -inf

1°d)Déterminer la limite de f en +inf et interpréter graphiquement le résultat.


Voila j'ai déja essayé de chercher, j'ai vaguement quelques petits trucs moi je bloque pour la 1°a et 1°b pour les limites j'arrive pas à trouver celle en -inf et pour celle en +inf je trouve 0.

merci de votre aide
-----

[invitebb921944]

1°a)Montrer que pour tout réel x :
__
cos(x)-sin(x)=V2cos(x+pi/4)

Ce ne serait pas plutot cos(x)-sin(x)=2/racine(2)(cos(x+pi/4)) ?

[invited5b2473a]

Non, sa formule est juste.
Utilise cos(a+b)

[invitea4cc3a85]

non non c'est bien ca :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea4cc3a85]

Utilise cos(a+b)

c'est à dire? tu peux m'éclairer un peu plus stp

[invitebb921944]

Lol je viens de me rendre compte que je t'ai donné exactement la même formule...
Rhalala !!!
Pour l'encadrement tu peux peut-être d'abord trouver un encadrement de cos(x+pi/4), en déduire un encadrement de racine(2)cos(x+pi/4) et en appliquant quelques opérations sur ton inégalité trouver un encadrement de f(x).

Utilise cos(a+b) :
Calcule cos(x+pi/4)

[invitea4cc3a85]

ouai mais normalement le 2°b je dois le déduire du 2°a donc si j'arrive à faire le 2°a je devrais pouvoir trouver la suite.

je comprend pas d'ou vient

cos(a+b)

?

[invitebb921944]

Il existe une formule qui permet de développer cos(a+b), on a :
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

[invite52c52005]

Pour répondre à la 1a, on te suggère d'utiliser la formule de Simpson qui donne cos(a+b) en fonction des cos(a), cos(b), sin(a) et sin(b). En choisissant astucieusement a et b tu peux trouver le 1a.
Tu peux utiliser aussi la formule cos(a) - cos(b) et en exprimant cos(b) sous forme de sinus.

Et ensuite tu pourras suivre les indications pour l'encadrement de f(x).

EDIT : croisement avec Ganash

[invitea4cc3a85]

bon le 2°a) meme avec vos explications je vois pas comment m'y prendre.

donc je suis passé au 2°b)

voici les calculs (qui me semble bizarre d'ailleurs)...

(normalement '<' représente supérieur ou égale mais je sais pas le faire au clavier)

-1<cos x <1
0<cos x-sinx<0
2<cos x-sinx+2<2
2e^1-x<(cos x-sinx+2)e^1-x<2e^1-x

ce qui donnerait A = B = 2, c'est bizarre non?

[invitebb921944]

Alors on a :
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
tu peux par exemple prendre a=x et b=Pi/4
sachant que cosPi/4=sinPi/4=racine(2)/2, tu dois pouvoir te ramener au résultat donné.

0<cos x-sinx<0

C'est faux tu n'as pas le droit d'écrire cela.
Ca voudrait par exemple dire que sinx<cosx, ce qui n'est pas vrai pour tout x.
Par contre, tu peux encadrer cos(x+pi/4) (qui s'encadre de la même manière que cos(u).
Ensuite, tu multiplies tous les membres de l'inégalité par racine2 (racine 2 est positif, les inégalités ne changent pas) pour voir la fameuse expression qui est égale a cosx-sinx.
Tu peux ensuite rajouter 2 à tous les membres de l'inégalité, puis les multiplier tous par e^(1-x).
Le membre au centre de ton inégalité sera égal à f(x) et sera encadré par quelque chose de la forme Ae^(1-x) et Be^(1-x). Tu pourras alors déterminer A et B .

EDIT : Lol, deux aides pour un seul post, t'as de la chance

[invite52c52005]

La manière de faire ton encadrement comporte plusieurs erreurs. En fait, on ne peut pas y arriver directement. c'est bien pour cela qu'il y a la question 1a. Pour l'encadrement, utilise plutôt que cos(x)-sin(x) (puisque c'est égal) pour trouver un encadrement de f(x).

EDIT : et RE-croisement avec Ganash. Décidément

[invitea4cc3a85]

bon ben pour la 2°a toujours pas, malgré ce que vous m'avez expliquer je vois pas comment faire démarrer le calcul.

pour le 2°b j'obtiens ceci :

< (cosx-sinx)<

< (2+cosx-sinx)<

xe^1-x< (2+cosx-sinx)x e^1-x < xe^1-x

ce qui voudrait dire que j'ai A=B, est ce bon?

[invite52c52005]

Excuse moi, mais je ne suis pas sûr que tu saches ce que tu fais.
Tu pars de l'égalité donnée en 1a. pour écrire des inégalités strictes.
Et puis, d'après ce que tu as écrit : de a<b<a, on en déduit que a<a.
Super ! a n'est plus a. Cas de psychologie mathématique ?

Alors, plus sérieusement, reprenons.
La question 1a. te dit que :

pour tout x dans IR,

Que tu n'arrives pas à le démontrer malgré nos indications, c'est une chose. On pourra y revenir plus tard si tu le souhaites. En attendant cette égalité existe alors utilise la pour l'encadrement.

Pour encadrer f(x) étape par étape, comme tu le faisais, commence par un encadrement de au lieu d'essayer d'encadrer cos(x) - sin(x). Ce qui au bout du compte revient au même puisqu'il y a égalité entre les deux expressions. Ce n'est pas pour rien qu'il y a la question 1a.

alors reprends tout ça, ça va venir.

[invitebb921944]

Alors on a :
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
tu peux par exemple prendre a=x et b=Pi/4
sachant que cosPi/4=sinPi/4=racine(2)/2, tu dois pouvoir te ramener au résultat donné.

Je suis désolé mais avec ça je ne vois pas ce qui bloque. Je peux pas t'en dire plus parce qu'il n'y a rien à dire de plus...

[invitea4cc3a85]

Pour encadrer f(x) étape par étape, comme tu le faisais, commence par un encadrement de au lieu d'essayer d'encadrer cos(x) - sin(x). Ce qui au bout du compte revient au même puisqu'il y a égalité entre les deux expressions. Ce n'est pas pour rien qu'il y a la question 1a.

donc si je reprend voila ce que j'ai déjà :
-1 < cos x < 1
-1 < < 1
< <

< <

une fois là je multiplie tout par e^1-x

c'est bon ou pas??

[invite52c52005]

-1 < < 1

Non, c'est pas bon.

D'où sors tu ça ? Si tu prends par exemple , alors .
Ce qui ne vérifie pas l'égalité car -1 et cela est strictement supérieur à -1 !

L'encadrement que tu appliques sur cos(x) est aussi vrai sur puisque pour tout y reel, -1 <= cos(y) <= 1 et en particulier si .
Maintenant, tu n'as plus qu'à ...

[invitea4cc3a85]

je comprend rien, je crois que je vais laisser courir...

[invite52c52005]

Comme dit précédemment, si tu pars de :



ensuite, on a

Ensuite il faut continuer et tu arrives à un encadrement de , ce qui n'est pas autre chose que f(x), d'après l'égalité de la question 1a.

[invitea4cc3a85]

bah voila! maintenant c'est plus clair, j'ai compris le truc!

sinon j'ai regardé les limites je trouve 0 en +inf mais je vois pas comment faire celle en -inf, je trouve toujours quelque chose d'indéfini.

[invitebb921944]

Utilise ton encadrement pour déterminer la limite en -inf (en +l'infini aussi tant qu'a faire !)!
Tu sais que f(x)>Ae^(1-x)
Or, en -l'infini, Ae^(1-x) tend vers ?
Donc, tu en déduis la limite de f(x).

[invitea4cc3a85]

on peut pas la déterminer ainsi puisque ca peut dépendre de la valeur de A, réel (négatif ou positif) non?

[invite52c52005]

Relis ton énoncé. A et B sont strictement positifs.

Quelles sont les limites de quand x-> + ou x-> -?
Et après, quelles sont les limites quand on multiplie par un nombre strictement positif (A et B)? Qu'est ce qu'on en conclut pour les limites de f ?

[invitea4cc3a85]

j'ai A= racine de 2 - 2 et B= racine de 2 +2

limite de e^1-x en -inf :+inf
limite de e^1-x en +inf :0

si on multiplie par des nombres positifs, on va avoir limite Ae^1-x en -inf = +inf et limite de limite Ae^1-x en +inf = 0

donc c'est décroissant
c'est tout bon??
me reste pour que faire cette foutu question 2°a en tout cas merci pour ton aide.

[invite52c52005]

Stop, c'est pas fini pour la question b.
Tu t'es trompé dans la valeur de A. D'ailleurs le A que tu donnes n'est pas positif. Tu as du faire une erreur de signe car c'est plutôt et ça, c'est strictement positif.

De plus la conclusion n'est pas bonne. Tu ne t'es pas servi de B, ni de l'encadrement. C'est grâce à l'encadrement qu'on peut conclure pour les limites de f.
Alors, encore un petit effort...

[invitea4cc3a85]

autant pour moi j'ai copié trop vite en retapant le truc, alors que sur la feuille c'est correcte

faut dire que comme f(x) est compris entre Ae^1-x et Be^1-x qui sont deux nombres positifs, donc f(x) est positif entre A et B
alors la limite d'un nombre positif multiplié par e^1-x en -inf donne +inf et en +inf on va avoir 0

ca marche cette fois?

[invitebb921944]

donc f(x) est positif entre A et B

Ca c'est faux mais c'est simplement parce que tu t'exprimes mal.
f(x) est supérieur pour tout x à une fonction strictement positive, donc f(x) est positif pour tout x..

[invitea4cc3a85]

pourriez pas me donner une sorte de correction que je mette quelque chose de clair sur ma feuille plz ?
parce que je comprend le truc, mais je vois pas comment l'expliquer à cause de A et B

[invitebb921944]

1/a
cos(x+Pi/4)=cos(x)cos(Pi/4)-sin(x)sin(Pi/4)
=racine(2)/2[cos(x)-sin(x)]
cosx-sinx=2/racine(2)*cos(x+Pi/4)=racine(2)cos(x+Pi/4)

1/b
-1<cos(x+Pi/4)<1
(en fait c'est des inférieurs ou égal mais je sais pas les écrire)
-racine(2)<racine(2)cos(x+Pi/4)<racine(2) (car racine 2 positif)
2-racine(2)<2+cosx-sinx<2+racine(2)
(2-racine(2))e^(1-x)<f(x)<(2+racine(2))e^(1-x) (car e^x >0)
Donc A=2-racine(2) et B=2+racine(2)
A>0 B>0

1/c
en +l'infini, Ae^(1-x) et Be^(1-x) tendent vers 0, f(x) est encadré par deux fonctions qui tendent vers 0 en +l'infini, donc lim f(x) = 0 en +l'infini.

1/d
en -l'infini, Ae^(1-x) tend vers +l'infini (car A est positif et e^(1-x) tend vers +l'infini).
f(x) est supérieur à une fonction qui tend vers +l'infini en +l'infini, donc limf(x) = +l'infini quand x tend vers + l'infini.

1/e La fonction est décroissante (tu peux le justifier facilement grace aux limites précédentes).

[invite52c52005]

faut dire que comme f(x) est compris entre Ae^1-x et Be^1-x qui sont deux nombres positifs, donc f(x) est positif entre A et B

Comme t'a dit Ganash, ce ne sont pas les bonnes justifications pour conclure.

Il vaut mieux dire un truc du genre:

Comme A est un réel strictement positif, les limites de quand x-> et x-> sont les mêmes que les limites de quand x-> et x-> .

Comme B est un réel strictement positif, on peut dire de manière analogue que les limites de quand x-> et x-> sont les mêmes que les limites de quand x-> et x-> .

On en conclut d'ailleurs que les limites de et quand x-> et x-> sont les mêmes.

Comme pour tout réel x, f(x) est encadré par deux fonctions qui ont les mêmes limites, alors f(x) a les mêmes limites.

J'ai fait en condensé, mais c'est pour te donner l'idée du raisonnement. Il faut que tu comprennes ce que cela veut dire, que tu le rédiges à ta manière et que tu explicites les valeurs des différentes limites.

EDIT: et nouveau téléscopage avec ganash