Bonjour,
Je cherche la dimension de l'espace vectoriel réel formé de toute les fonctions solutions de l'équation différentielle :
donc
Les deux fonctions (sin x, cos x) forment une base.
Donc la dimension de l'espace vectoriel vaut 2 c'est ça (nous n'avons pas encore vu ça au cours j'anticipe un peu) ?
merci
Ca a l'air d'être ça.
mais il y a plus simple, l'ensemble des solutions a une structure d'espace vectoriel puisque l'équation est linéaire.
De plus chaque solution est uniquement determinée par deux nombres qui sont par exemple y(0) et y'(0), tu obtiens ainsi un isomorphe ente l'esapce des solutions et R^2 et donc la dimension de l'espace des solutions c'est 2 également.
Ah oui
Toutes les solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre n forment un espace vectoriel de dimension n ?
Et elle doit forcément être linéaire l'équation ?
merci
Vos avez tous les deux raison. Cependant, je me permets de réagir à ce que dit Guyem ...
La, pas de problème, je suis tout à fait d'accord.Envoyé par GuYem
Ca nécessite quand même une preuve !!! Du coup, c'est pas forcément plus simple. Comme ça, je dirai qu'on peut invoquer par exemple le théorème de Cauchy Lipschitz linéaire. Sinon, dire queDe plus chaque solution est uniquement determinée par
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deux nombres qui sont par exemple y(0) et y'(0), tu obtiens ainsi un isomorphe ente l'esapce des solutions et R^2 et donc la dimension de l'espace des solutions c'est 2 également.
suffit à démontrer que ladimension de l'espace est au plus 2. Mais il faut exhiber les solutions pour montrer qu'il est bien de dimension 2. (Du moins si on n'a pas C-L linéaire...)
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rvz
C'est simple à vérifier :
-prends deux solutions et ajoute les, tu obtiens encore une solution.
-prends une solution et multiplie la par un scalaire, tu obtiens .... encore une solution !
Si l'équation n'est pas linéaire, ça ne marche plus, c'est pas pour rien que ça s'appelle une équation linéaire ! C'est parce que les solutions ont une structure ... lineaire !
Tu as raison rvz, ce que j'ai dit suppose connus les théorèmes d'existence et d'unicité des solutions du style Cauchy Lipschitz. C'est peut-être metter la charrue avant les boeufs en effet.
Oui ma question à propos d'équadiffs non linéaires était stupide en effet ...
merci
