Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 7 sur 7

Dimension d'un espace vectoriel



  1. #1
    Bleyblue

    Dimension d'un espace vectoriel


    ------

    Bonjour,

    Je cherche la dimension de l'espace vectoriel réel formé de toute les fonctions solutions de l'équation différentielle :



    donc

    Les deux fonctions (sin x, cos x) forment une base.
    Donc la dimension de l'espace vectoriel vaut 2 c'est ça (nous n'avons pas encore vu ça au cours j'anticipe un peu) ?

    merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    GuYem

    Re : Dimension d'un espace vectoriel

    Ca a l'air d'être ça.

    mais il y a plus simple, l'ensemble des solutions a une structure d'espace vectoriel puisque l'équation est linéaire.

    De plus chaque solution est uniquement determinée par deux nombres qui sont par exemple y(0) et y'(0), tu obtiens ainsi un isomorphe ente l'esapce des solutions et R^2 et donc la dimension de l'espace des solutions c'est 2 également.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Dimension d'un espace vectoriel

    Ah oui

    Toutes les solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre n forment un espace vectoriel de dimension n ?

    Et elle doit forcément être linéaire l'équation ?

    merci

  5. #4
    rvz

    Re : Dimension d'un espace vectoriel

    Vos avez tous les deux raison. Cependant, je me permets de réagir à ce que dit Guyem ...

    Citation Envoyé par GuYem
    mais il y a plus simple, l'ensemble des solutions a une structure d'espace vectoriel puisque l'équation est linéaire.
    La, pas de problème, je suis tout à fait d'accord.

    De plus chaque solution est uniquement determinée par
    ^^^^^^^^
    deux nombres qui sont par exemple y(0) et y'(0), tu obtiens ainsi un isomorphe ente l'esapce des solutions et R^2 et donc la dimension de l'espace des solutions c'est 2 également.
    Ca nécessite quand même une preuve !!! Du coup, c'est pas forcément plus simple. Comme ça, je dirai qu'on peut invoquer par exemple le théorème de Cauchy Lipschitz linéaire. Sinon, dire que
    suffit à démontrer que ladimension de l'espace est au plus 2. Mais il faut exhiber les solutions pour montrer qu'il est bien de dimension 2. (Du moins si on n'a pas C-L linéaire...)

    __
    rvz

  6. #5
    GuYem

    Re : Dimension d'un espace vectoriel

    C'est simple à vérifier :
    -prends deux solutions et ajoute les, tu obtiens encore une solution.
    -prends une solution et multiplie la par un scalaire, tu obtiens .... encore une solution !

    Si l'équation n'est pas linéaire, ça ne marche plus, c'est pas pour rien que ça s'appelle une équation linéaire ! C'est parce que les solutions ont une structure ... lineaire !
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    GuYem

    Re : Dimension d'un espace vectoriel

    Tu as raison rvz, ce que j'ai dit suppose connus les théorèmes d'existence et d'unicité des solutions du style Cauchy Lipschitz. C'est peut-être metter la charrue avant les boeufs en effet.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  9. Publicité
  10. #7
    Bleyblue

    Re : Dimension d'un espace vectoriel

    Oui ma question à propos d'équadiffs non linéaires était stupide en effet ...

    merci

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. Dimension d'un sous-espace
    Par Bleyblue dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 04/02/2007, 14h23
  2. Choix de norme sur un espace vectoriel de dimension finie.
    Par LocalStone dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 30/12/2005, 19h01
  3. dimension de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension n
    Par Chokaolic dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 11
    Dernier message: 20/11/2005, 10h40
  4. homothéties d'un espace vectoriel...
    Par schub52 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 28
    Dernier message: 04/11/2005, 23h14
  5. Espace Vectoriel Euclidien de dimension finie
    Par Sigmar dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 23/06/2004, 11h23