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homothéties d'un espace vectoriel...



  1. #1
    schub52

    Unhappy homothéties d'un espace vectoriel...


    ------

    Salut,
    Besoin d'aide pour l'exercice suivant !!

    V espace vectoriel sur R ou C. f endomorphisme de V.
    H est un hyperplan de V tel que pour tout x de V-H, le système (x,f(x)) est lié. Montrer que f est une homothétie.

    J'ai déjà montré que f(x) = kx sur V-H ce qui semble assez évident puisque V-H est de dimension 1...

    Avez-vous des pistes ???? Merci d'avance !!!

    -----

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  3. #2
    doryphore

    Smile Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    V-H, c'est le complémentaire de H ou c'est le sous-espace supplémentaire ?
    Si, c'est le complémentaire, V-H n'est pas un sous-espace vectoriel et hors de question de parler de dimension de sous-espace vectoriel.

    Croisement avec mmy
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  4. #3
    invité576543
    Invité

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Citation Envoyé par schub52
    Salut,
    Besoin d'aide pour l'exercice suivant !!

    V espace vectoriel sur R ou C. f endomorphisme de V.
    H est un hyperplan de V tel que pour tout x de V-H, le système (x,f(x)) est lié. Montrer que f est une homothétie.

    J'ai déjà montré que f(x) = kx sur V-H ce qui semble assez évident puisque V-H est de dimension 1...

    Avez-vous des pistes ???? Merci d'avance !!!
    Une question, tu sembles considérer V-H comme l'orthogonal de V. Ce ne serait pas plutôt son complémentaire, l'ensemble des vecteurs de V qui ne sont pas dans H???

    Cordialement,

  5. #4
    martini_bird

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Salut,

    tu es sûr de ton énoncé?

    Parce que, disons dans l'espace, une rotation est une homothétie selon son axe (en fait l'identité) et pas vraiment une homothétie sur l'hyperplan complémentaire...

    Cordialement.

    EDIT: argh croisement et j'ai écrit sottement sur mon brouillon...

    Pour dire quelque chose d'intéressant: V-H est plus gros que tu ne le crois (et que je l'ai écrit...).
    Dernière modification par martini_bird ; 03/11/2005 à 18h51.

  6. #5
    schub52

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    [EDIT: argh croisement et j'ai écrit sottement sur mon brouillon...

    Pour dire quelque chose d'intéressant: V-H est plus gros que tu ne le crois (et que je l'ai écrit...).[/QUOTE]


    Bon, si je comprends bien, j'ai confondu le complémentaire de H dans V avec le supplémentaire de H... ça change un peu tout en effet...
    A revoir de près après une bonne nuit de repos...
    Merci à tous...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    schub52

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    argh croisement et j'ai écrit sottement sur mon brouillon...

    Pour dire quelque chose d'intéressant: V-H est plus gros que tu ne le crois (et que je l'ai écrit...).


    : ça c'est vrai non ?

    Seulement K ça n'est pas V-H...

    Une petite remarque : dans l'énoncé, on n'est pas en dimension finie, donc je ne peux pas m'en sortir en trouvant une base de V...

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  10. #7
    doryphore

    Smile Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Les bases ne sont pas forcément des familles finies.
    Exemple: (1,X,X²,...) base de R[X].

    Mais cette remarque n'est pas forcément en relation avec la solution...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  11. #8
    schub52

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Ok pour la base de R[X]... mais quand l'ev n'est pas précisé, ça a du sens d'écrire une base infinie avec des points de suspension ?

  12. #9
    doryphore

    Smile Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    A priori oui, mais de l'intérêt pas toujours...

    Là tu sais que

    Peut-être voir des histoire de densité et de continuité ?
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  13. #10
    schub52

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    ton lambda, il ne dépend pas de h + ku ????

  14. #11
    doryphore

    Wink Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Heureusement que non!! Sinon, peu d'espoir d'avoir une homothétie vectorielle....
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  15. #12
    doryphore

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Quoique tu me fais douter tout à coup, tu es à quel niveau...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  17. #13
    invité576543
    Invité

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Citation Envoyé par doryphore
    Peut-être voir des histoire de densité et de continuité ?
    Pourquoi ça?? Vous oubliez "endomorphisme" j'ai l'impression...

  18. #14
    schub52

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    je suis d'accord, mais le but de mon exercice c'est justement de montrer que ce lambda ne dépend pas de mon h + ku...

    pour l'instant je sais juste que sur le complémentaire de H, x et f(x) sont liés...

  19. #15
    doryphore

    Smile Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Non, ce que tu dois faire, c'est prouver que pour tout x de V,
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  20. #16
    schub52

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Citation Envoyé par doryphore
    Non, ce que tu dois faire, c'est prouver que pour tout x de V,
    ????? je ne comprends pas...

    niveau : prépa agreg, mais j'ai tout oublié alors... c'est laborieux...

  21. #17
    doryphore

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Soit ,

    Si alors, il existe tel que . Donc et donc
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  22. #18
    schub52

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    ça c'est bon, j'avais fait...
    en fait, je n'avais pas compris que ton x et ton u étaient des indices...

    Donc pour l'instant f est une homothétie sur le supplémentaire de H...
    Il faut donc que je prouve d'abord que f est une homothétie sur V-H, d'après l'énoncé, pour pouvoir ensuite l'étendre à V tout entier.

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  24. #19
    doryphore

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    En fait, tu prends u dans V-H.

    Puis tu te sers du fait que pour x n'appartenant pas à Ku ni à H, x et u forment une famille libre et donc,
    et comme x et u sont libres
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  25. #20
    schub52

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    merci bien, je vais réfléchir à tout ça...

  26. #21
    schub52

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    question certainement idiote mais qu'est ce qui me garanti que x + u appartient à V-H ?

  27. #22
    doryphore

    Cool Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Ah oui, tiens, il y a encore un hyperplan affine à éclure en pus de H, je ne sais pas si les conséquences sont importantes pour l'instant.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  28. #23
    GuYem

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Salut.

    Je n'ai pas regardé en détail toute la discussion. Il me semble juste me rappeler la technique d'approche pour ce genre d'exo.

    x et f(x) liés ca veut dire qu'il existe tel que . Le but du jeu est alors de montrer que le ne dépend en fait pas du x. Ce qui revient à montrer que quand on prend un x et un y alors .
    Il faut alors commencer par x et y liés, c'est assez facile. Et ensuite seulement passer à x et y quelconque.


    Attention cependant j'ai ce souvenir dans la démonstration du fait que le centre de M_n(K) c'est justement les homothéties. Ici ce n'est pas le même problème...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  29. #24
    schub52

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    j'ai utilisé cette technique dans la question 1 où on me disait que pour tout x de V et f(x) sont liés.

    Mais ici, je ne l'ai que sur V-H avec H hyperplan...
    Or V-H n'est pas stable pour l'addition...

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  31. #25
    GuYem

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Oui excuse-moi je suis à coté de la plaque.

    Je ne suis pas clair avec ce que tu notes V-H. Est-ce le complémentaire de H ou bien un supplémentaire de H ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  32. #26
    schub52

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    c'est le complémentaire je pense. Dans mon devoir il est noté V\H.

  33. #27
    GuYem

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    V\H c'est le complémentaire en effet, aucun doute.

    Pour ta question essaye la chose suivante:

    Ecris V = H somme directe K.u où u est un vecteur de V. C'est possible même en dimension infinie. Rappelle-toi qu'un hyperplan, en dimension infinie c'est un sous espace de codimension 1.

    Maintenant prend x = h+k.u avec des notations évidentes; Prends k non nul de sorte que x ne soit pas dans H et h non ul de sorte que x ne soit pas colinéaire à u.
    Utilise le fait que x et u sont tous deux liés à leur images respectives par hypothèse et fais un peu pareil qu'à la question d'avant pour montrer que leur coeff de liaison sont les mêmes.
    Ainsi h, qui vaut x-k.u et lui aussi lié à son image.
    Et donc ta relation de liaison entre un point et son image qui n'est au départ valable que V-H s'est propagée partout sur V.

    J'espère être clair.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  34. #28
    schub52

    Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Utilise le fait que x et u sont tous deux liés à leur images respectives par hypothèse et fais un peu pareil qu'à la question d'avant pour montrer que leur coeff de liaison sont les mêmes.
    pour faire pareil qu'à la question d'avant n'ai-je pas besoin que x + u soit aussi dans V\H, ce qui n'est pas sûr du tout ??

  35. #29
    doryphore

    Cool Re : homothéties d'un espace vectoriel...

    Il faut juste retirer également les vecteurs -u+h avec h dans H et recoller les morceaux à la fin, non ? C'est mon histoire d'hyperplan affine...
    Dernière modification par doryphore ; 04/11/2005 à 22h17.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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