homothéties d'un espace vectoriel...
Salut,
Besoin d'aide pour l'exercice suivant !!
V espace vectoriel sur R ou C. f endomorphisme de V.
H est un hyperplan de V tel que pour tout x de V-H, le système (x,f(x)) est lié. Montrer que f est une homothétie.
J'ai déjà montré que f(x) = kx sur V-H ce qui semble assez évident puisque V-H est de dimension 1...
Avez-vous des pistes ???? Merci d'avance !!!
Re : homothéties d'un espace vectoriel...
V-H, c'est le complémentaire de H ou c'est le sous-espace supplémentaire ?
Si, c'est le complémentaire, V-H n'est pas un sous-espace vectoriel et hors de question de parler de dimension de sous-espace vectoriel.
Croisement avec mmy
Une question, tu sembles considérer V-H comme l'orthogonal de V. Ce ne serait pas plutôt son complémentaire, l'ensemble des vecteurs de V qui ne sont pas dans H???Envoyé par schub52
Salut,
Besoin d'aide pour l'exercice suivant !!
V espace vectoriel sur R ou C. f endomorphisme de V.
H est un hyperplan de V tel que pour tout x de V-H, le système (x,f(x)) est lié. Montrer que f est une homothétie.
J'ai déjà montré que f(x) = kx sur V-H ce qui semble assez évident puisque V-H est de dimension 1...
Avez-vous des pistes ???? Merci d'avance !!!
Cordialement,
Salut,
tu es sûr de ton énoncé?
Parce que, disons dans l'espace, une rotation est une homothétie selon son axe (en fait l'identité) et pas vraiment une homothétie sur l'hyperplan complémentaire...
Cordialement.
EDIT: argh croisement et j'ai écrit sottementsur mon brouillon...
Pour dire quelque chose d'intéressant: V-H est plus gros que tu ne le crois (et que je l'ai écrit...).
[EDIT: argh croisement et j'ai écrit sottement
Pour dire quelque chose d'intéressant: V-H est plus gros que tu ne le crois (et que je l'ai écrit...).[/QUOTE]
Bon, si je comprends bien, j'ai confondu le complémentaire de H dans V avec le supplémentaire de H... ça change un peu tout en effet...
A revoir de près après une bonne nuit de repos...
Merci à tous...
Salut,
argh croisement et j'ai écrit sottement
Pour dire quelque chose d'intéressant: V-H est plus gros que tu ne le crois (et que je l'ai écrit...).
Seulement K
Une petite remarque : dans l'énoncé, on n'est pas en dimension finie, donc je ne peux pas m'en sortir en trouvant une base de V...
Re : homothéties d'un espace vectoriel...
Les bases ne sont pas forcément des familles finies.
Exemple: (1,X,X²,...) base de R[X].
Mais cette remarque n'est pas forcément en relation avec la solution...
Ok pour la base de R[X]... mais quand l'ev n'est pas précisé, ça a du sens d'écrire une base infinie avec des points de suspension ?
Re : homothéties d'un espace vectoriel...
A priori oui, mais de l'intérêt pas toujours...
Là tu sais que
Peut-être voir des histoire de densité et de continuité ?
ton lambda, il ne dépend pas de h + ku ????
Re : homothéties d'un espace vectoriel...
Heureusement que non!! Sinon, peu d'espoir d'avoir une homothétie vectorielle....
Quoique tu me fais douter tout à coup, tu es à quel niveau...
Pourquoi ça?? Vous oubliez "endomorphisme" j'ai l'impression...
je suis d'accord, mais le but de mon exercice c'est justement de montrer que ce lambda ne dépend pas de mon h + ku...
pour l'instant je sais juste que sur le complémentaire de H, x et f(x) sont liés...
Re : homothéties d'un espace vectoriel...
Non, ce que tu dois faire, c'est prouver que pour tout x de V,
????? je ne comprends pas...Non, ce que tu dois faire, c'est prouver que pour tout x de V,
niveau : prépa agreg, mais j'ai tout oublié alors... c'est laborieux...
Soit
Si
ça c'est bon, j'avais fait...
en fait, je n'avais pas compris que ton x et ton u étaient des indices...
Donc pour l'instant f est une homothétie sur le supplémentaire de H...
Il faut donc que je prouve d'abord que f est une homothétie sur V-H, d'après l'énoncé, pour pouvoir ensuite l'étendre à V tout entier.
En fait, tu prends u dans V-H.
Puis tu te sers du fait que pour x n'appartenant pas à Ku ni à H, x et u forment une famille libre et donc,
merci bien, je vais réfléchir à tout ça...
question certainement idiote mais qu'est ce qui me garanti que x + u appartient à V-H ?
Re : homothéties d'un espace vectoriel...
Ah oui, tiens, il y a encore un hyperplan affine à éclure en pus de H, je ne sais pas si les conséquences sont importantes pour l'instant.
Salut.
Je n'ai pas regardé en détail toute la discussion. Il me semble juste me rappeler la technique d'approche pour ce genre d'exo.
x et f(x) liés ca veut dire qu'il existe
Il faut alors commencer par x et y liés, c'est assez facile. Et ensuite seulement passer à x et y quelconque.
Attention cependant j'ai ce souvenir dans la démonstration du fait que le centre de M_n(K) c'est justement les homothéties. Ici ce n'est pas le même problème...
j'ai utilisé cette technique dans la question 1 où on me disait que pour tout x de V et f(x) sont liés.
Mais ici, je ne l'ai que sur V-H avec H hyperplan...
Or V-H n'est pas stable pour l'addition...
Oui excuse-moi je suis à coté de la plaque.
Je ne suis pas clair avec ce que tu notes V-H. Est-ce le complémentaire de H ou bien un supplémentaire de H ?
c'est le complémentaire je pense. Dans mon devoir il est noté V\H.
V\H c'est le complémentaire en effet, aucun doute.
Pour ta question essaye la chose suivante:
Ecris V = H somme directe K.u où u est un vecteur de V. C'est possible même en dimension infinie. Rappelle-toi qu'un hyperplan, en dimension infinie c'est un sous espace de codimension 1.
Maintenant prend x = h+k.u avec des notations évidentes; Prends k non nul de sorte que x ne soit pas dans H et h non ul de sorte que x ne soit pas colinéaire à u.
Utilise le fait que x et u sont tous deux liés à leur images respectives par hypothèse et fais un peu pareil qu'à la question d'avant pour montrer que leur coeff de liaison sont les mêmes.
Ainsi h, qui vaut x-k.u et lui aussi lié à son image.
Et donc ta relation de liaison entre un point et son image qui n'est au départ valable que V-H s'est propagée partout sur V.
J'espère être clair.
pour faire pareil qu'à la question d'avant n'ai-je pas besoin que x + u soit aussi dans V\H, ce qui n'est pas sûr du tout ??Utilise le fait que x et u sont tous deux liés à leur images respectives par hypothèse et fais un peu pareil qu'à la question d'avant pour montrer que leur coeff de liaison sont les mêmes.
Re : homothéties d'un espace vectoriel...
Il faut juste retirer également les vecteurs -u+h avec h dans H et recoller les morceaux à la fin, non ? C'est mon histoire d'hyperplan affine...
