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Démonstration d'un espace vectoriel



  1. #1
    fantasi0

    Démonstration d'un espace vectoriel


    ------

    Bonjour !
    Je dois démontrer que l'ensemble des fonctions sur R du type

    f:t -> a*cos(t+b)

    où a et b sont arbitraires, est un espace vectoriel.
    Je ne suis pas très habile avec les fonctions trigonométriques, mais à mon avis je dois vérifier un par un les axiomes (commutativité, élément neutre,...) qui font la propriété d'un espace vectoriel. C'est juste ?

    Merci d'avance !

    -----

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  3. #2
    cyberantoine

    Re : Démonstration d'un espace vectoriel

    Tu dis vouloir montrer que l'espace des fonctions de R dans R définies par f(a,b) : t-->a*cos(t+b) est un espace vectoriel. Mais quelle est la loi commutative interne ?
    Je pencherais plutot pour une loi multiplicative. Mais peux tu me confirmer ca.

    Autre remarque, pour démontrer qu'un espace est un espace vectoriel, il y a deux grandes méthodes. Soit on utilise la définition, point par point : c'est un groupe abélien pour la loi interne. Et tu dois montrer les quelques propriétés de la loi externe. L'autre solution est nettement plus utilisée : tu montres que c'est un sous espace vectoriel (d'un espace vectoriel). Il te faut donc trouver un espace vectoriel qui "englobe" tous les éléments de ton espace (et qui a la même loi de composition interne).

  4. #3
    invite52487760

    Re : Démonstration d'un espace vectoriel

    Oui, je pense qu'il faut essayer de montrer que : est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel

  5. #4
    fantasi0

    Re : Démonstration d'un espace vectoriel

    cyberantoine : les lois ne sont pas définies dans l'exercice, mais normalement le prof, quand il n'indique pas les lois, assume qu'il faut utiliser les lois usuelles.

    Je pense aussi que la deuxième méthode est plus efficace je dois donc prendre l'espace des fonctions f : R -> R (comme le dit si bien chentouf) ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    cyberantoine

    Re : Démonstration d'un espace vectoriel

    Oui mais fentouf te laisse le choix pour la loi interne. Tu as donc juste à montrer que pour f et g deux fonctions de ton espace, tu as f + g (si tu prends la loi +) ou f*g (si tu prends la loi *) qui est encore dans ton espace donc qui peut s'écrire sous la bonne forme voulue t:-->a*cos(t+b).

    Pour la loi +, je doute que ce soit le cas. par ex cos(t)+cos(t+1) ne doit pas pouvoir s'écrire sous la bonne forme.

    Par contre ca se montre aisément avec la loi * avec une petite formule trigonométrique.

  8. #6
    homotopie

    Re : Démonstration d'un espace vectoriel

    Je pense qu'il est encore plus efficace de montrer que cet ensemble est égal à l'ensemble des fonctions de la forme t->c.cos(t)+s.sin(t) dont il est facile de montrer que c'est un espace vectoriel.
    acos(t+b) : on développe en utilisant cos(.+.)
    Dans l'autre sens,
    Justifier l'existence de b tel que

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  10. #7
    Médiat

    Re : Démonstration d'un espace vectoriel

    Citation Envoyé par cyberantoine Voir le message
    Pour la loi +, je doute que ce soit le cas. par ex cos(t)+cos(t+1) ne doit pas pouvoir s'écrire sous la bonne forme.
    Si, si, ça marche

    Citation Envoyé par cyberantoine Voir le message
    Par contre ca se montre aisément avec la loi * avec une petite formule trigonométrique.
    En tout état de cause, avec le produit tu ne pourras pas démontrer a(f.g) = af.ag
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    cyberantoine

    Re : Démonstration d'un espace vectoriel

    Désolé, oui il y aurait un vrai problème pour la distributivité de la loi externe. La méthode de homotopie m'ouvre les yeux : oui ca marche.
    La prochaine fois je prends un stylo et j'essaie un peu plus.

  12. #9
    invite986312212
    Invité

    Re : Démonstration d'un espace vectoriel

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    En tout état de cause, avec le produit tu ne pourras pas démontrer a(f.g) = af.ag
    pour être cohérent, il faudrait prendre (x,f)->f^x comme loi externe

  13. #10
    Médiat

    Re : Démonstration d'un espace vectoriel

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    pour être cohérent, il faudrait prendre (x,f)->f^x comme loi externe
    Effectivement, mais de toute façon, la fonction élément neutre (c'est à dire la fonction constante égale à 1) ne fait pas partie de l'ensemble acos(t+b) .
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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