Bonjour !
Je dois démontrer que l'ensemble des fonctions sur R du type
f:t -> a*cos(t+b)
où a et b sont arbitraires, est un espace vectoriel.
Je ne suis pas très habile avec les fonctions trigonométriques, mais à mon avis je dois vérifier un par un les axiomes (commutativité, élément neutre,...) qui font la propriété d'un espace vectoriel. C'est juste ?
Merci d'avance !
Tu dis vouloir montrer que l'espace des fonctions de R dans R définies par f(a,b) : t-->a*cos(t+b) est un espace vectoriel. Mais quelle est la loi commutative interne ?
Je pencherais plutot pour une loi multiplicative. Mais peux tu me confirmer ca.
Autre remarque, pour démontrer qu'un espace est un espace vectoriel, il y a deux grandes méthodes. Soit on utilise la définition, point par point : c'est un groupe abélien pour la loi interne. Et tu dois montrer les quelques propriétés de la loi externe. L'autre solution est nettement plus utilisée : tu montres que c'est un sous espace vectoriel (d'un espace vectoriel). Il te faut donc trouver un espace vectoriel qui "englobe" tous les éléments de ton espace (et qui a la même loi de composition interne).
Oui, je pense qu'il faut essayer de montrer que :est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel
cyberantoine : les lois ne sont pas définies dans l'exercice, mais normalement le prof, quand il n'indique pas les lois, assume qu'il faut utiliser les lois usuelles.
Je pense aussi que la deuxième méthode est plus efficace je dois donc prendre l'espace des fonctions f : R -> R (comme le dit si bien chentouf) ?
Oui mais fentouf te laisse le choix pour la loi interne. Tu as donc juste à montrer que pour f et g deux fonctions de ton espace, tu as f + g (si tu prends la loi +) ou f*g (si tu prends la loi *) qui est encore dans ton espace donc qui peut s'écrire sous la bonne forme voulue t:-->a*cos(t+b).
Pour la loi +, je doute que ce soit le cas. par ex cos(t)+cos(t+1) ne doit pas pouvoir s'écrire sous la bonne forme.
Par contre ca se montre aisément avec la loi * avec une petite formule trigonométrique.
Je pense qu'il est encore plus efficace de montrer que cet ensemble est égal à l'ensemble des fonctions de la forme t->c.cos(t)+s.sin(t) dont il est facile de montrer que c'est un espace vectoriel.
acos(t+b) : on développe en utilisant cos(.+.)
Dans l'autre sens,
Justifier l'existence de b tel que
Si, si, ça marcheEnvoyé par cyberantoine
En tout état de cause, avec le produit tu ne pourras pas démontrer a(f.g) = af.ag
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Désolé, oui il y aurait un vrai problème pour la distributivité de la loi externe. La méthode de homotopie m'ouvre les yeux : oui ca marche.
La prochaine fois je prends un stylo et j'essaie un peu plus.
pour être cohérent, il faudrait prendre (x,f)->f^x comme loi externe
Effectivement, mais de toute façon, la fonction élément neutre (c'est à dire la fonction constante égale à 1) ne fait pas partie de l'ensemble acos(t+b)pour être cohérent, il faudrait prendre (x,f)->f^x comme loi externe.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
