Epreuve 1 agreg externe

[invitea6ce7a57]

Bonjour,

Quelqu'un a jeté un oeil aux épreuves écrites d'agreg de cette année?

Perso j'en bave un peu. Quelqu'un peut-il me dire s'il a trouvé la fin de la partie IV de l'épreuve 1? J'ai une intuition que (Gamma,*) est isomorphe au groupe additif (R/[Pi],+) mais j'arrive pas à le prouver (question IV-4-c).

Si jamais mon intuition est juste, il suffirait de prouver que si a et b réels sont dans les bonnes conditions pour que l'équation sin(x)^3=a*cos(x)+b*sin(x) admette trois solutions distinctes x1, x2 et x3 sur [0,Pi] alors nécessairement x1 + x2 + x3 = 0 [Pi].

Quelqu'un peut-il m'aider sur ce point? Sachant que si ça se peut chuis complètement à côté...
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[invite35452583]

Je pense que tu as raison parce que :
i) numériquement, je trouve dans plusieurs cas une somme des "racines" égale à 2pi (les paramètres sont définis modulo pi) donc ça revient au même
ii) On a :
je pose sin(x1)=s1...cos(x2)=c2 histoire de se simplifier l'écriture
a c1+ b s1=s1³
a c2+ b s2=s2³
D'où a=(s2s1³-s1s2³)(c1s2-c2s1) b=-(c2s1³-c1s2³)/(c1s2-c2s1)
Pour x3=pi-(x1+x2)
acos(x3)+bsin(x3)=-acos(x1+x2)+bsin(x1+x2)=-a(c1c2-s1s2)+b(s1c2+s2c1)
en développant (aucune simplification), on aboutit à :
(c1s2-c2s1)[acos(x3)+bsin(x3)]=s1⁴(s2²-c2²)+s2⁴(c2²-s1²)+2s1s2c1c2(s2²-s1²)
D'un autre côté
sin³(x3)=sin³(x1+x2)=s1³c2³+3s1²c1s2c2²+3s1c1²s2²c2+c1³s2³
Après les 1ères simplifications, on aboutit à :
(c1s2-c2s1)sin³(x3)=c1⁴s2⁴-s1⁴c2⁴+2s1c1s2c2(c1²s2²-s1²c2²)
Et là on voit mieux les formules de trigo à utiliser pour passer de l'un à l'autre :
c1⁴=(c1²)²=(1-s1²)²=1-2s1²+s1⁴=c1²-s1²+s1⁴
formule similaire pour c2⁴, les s1⁴s2⁴ se simplifient, d'où : c1⁴s2⁴-s1⁴c2⁴=s1⁴(s2²-c2²)+s2⁴(c2²-s1²)
c1²s2²=(1-s1²)s2²=s2²-(s1s2)² de même s1²c2²=s1²-(s1s2)², les (s1s2)² vont disparaître, on obtient : 2s1s2c1c2(c1²s2²-s1²c2²)=2s1s2c1c2(s2²-s1²)
On additionne les deux derniers résultats que l'on divise par (c1s2-c2s1) on aboutit enfin à :
sin³(x3)=acos(x3)+bsin(x3) si x3=pi-(x1+x2)
Comme une droite ne coupe la cubique qu'en trois points au plus ...

[invitea6ce7a57]

Joli

C'est exactement une démo comme ça que je cherchais, après avoir essayé des formules trigos dans tous les sens, mais sans grand succès... J'avais même pas pensé à exprimer a et b en fonction des c1,c2,s1 et s2, ce qui est très bon puisque, comme tu le dis, ça fait clairement apparaître la bonne formule trigo à utiliser (y'en a tellement!

Sinon on pouvait aussi raisonner sur les coordonnées homogènes mais bon, comme j'avais commencé dans le plan affine en coordonnées polaires...