Suites et séries numériques.

[invitedfb61b74]

Bonjour a tous.

J'ai une série sur les bras dont je dois determiner la nature. Pour la premiere partie je m'en sors facilement, mais a partir d'un certain point, je bloque.

Voila la "bete" : Sn=somme des Un avec Un = (a + 1/n)^n

Instinctivement, je me sert de Couchy : (Un)^1/2 = a + 1/n
Et la limite de ce machin lorsque n tends vers l'infini c'est bien entendu a. La nature de cette serie est dans determinée par le signe de a :

• si a € ]0;1[, alors la série est convergente;
• si a € [1;+ifinie[, alors la série est divergente,
• et si a=1, alors ba on sais pas.

Je m'interesse donc au cas ou a=1, et c'est la que je bloque.
On a alors Un=(1 + 1/n)^n={(n+1)/n)}^n.
La question que je me pose c'est : a-t-on le droit d'utiliser le critere d'équivalence et dire que (n+1)/n ~ n/n = 1 , auquel cas, la limite est 1 ?


Merci d'avance pour vos réponse. J'espere avoir ete le plus clair possible malgré la rédaction des équations un peu archaïque.

Au revoir .
Clément.
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[invitec053041c]

Bonsoir.

Le terme général étant positif, on a le droit d'utiliser les éqquivalents.

Après 2 calculs élémentaires, on trouve que Un ~ a^(n).exp(1/a)

Pour a=1, on a Un~exp(1/1)=e , donc la divergence est grossière.

Cordialement.

PS: pauvre Cauchy .