Base d'un sous-espace vectoriel de R^4

[invite7fcbff32]

Salut voilà je ne suis pas encore très au point sur le début de la nouvelle UV: on travaille sur les espaces vectoriels, et je suis incapable de trouver une base de x+3y+z=0...
Merci de vos explications!
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[invitec3f4db3a]

tu resouds le "système"
soit X=(x,y,z,t)€ P d'equation x+3y+z+t

{x+3y+z=0
d'ou x=-3y-z

donc X€P ssi X=(-3y-z,y,z,t)=y(-3,1,0,0)+z*(-1,0,1,0)+t*(0,0,0,1)
(-3,1,0,0),(-1,0,1,0) et (0,0,0,1) forment une famille libre , et on verifie aisement que chacun d'entre appartient a P. Or P est une hyperplan donc un sev de dimension 3 d'ou la famille obtenue est bien une famille libre ...

Ca deverait aller comme ça je pense.
Cordialement .

[invite9cf21bce]

Salut.

Bon tu as deux options.

1. Tu trouves des vecteurs en assez grand nombre, qui forment une famille libre.

2. Tu "paramétrises" ton hyperplan.

La première option pose un problème : combien faut-il de vecteurs ? Si tu connais le théorème du rang tu sais qu'il en faut 3.

La deuxième option, on va le voir, est sans doute moins immédiate mais marche pas mal ici.

Prenons y,z et t comme paramètres, je les note , et .

Alors un vecteur (x,y,z,t) appartient à l'hyperplan si et seulement s'il existe , et (qui tiendront le rôle de y,z,et t) tels que :

• x=-3-
• y=
• z=
• t=

ce qui s'écrit encore :



Ceci te donne une famille génératrice, dont il reste à montrer qu'elle est libre.

Taar.

Edit : damned complètement grillé par charly ...

[invite7fcbff32]

J'ose vous avouer que je n'ai pas compris... surtout que je me suis trompé d'énoncé!... x+3y+z-2t=0
(1,0,0,0) (0,3,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,-2) formeraient-ils une base?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cf21bce]

J'ose vous avouer que je n'ai pas compris... surtout que je me suis trompé d'énoncé!... x+3y+z-2t=0
(1,0,0,0) (0,3,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,-2) formeraient-ils une base?

Ben non, (1,0,0,0) n'est même pas dans ton hyperplan :

1 + 3 x 0 + 0 - 2 x 0 = 1 ...

les autres non plus, d'ailleurs.

Bon, reprenons plus en détail cette histoire de paramétrisation.

1. Droite dans le plan

Dans le plan vectoriel (coordonnées x et y), considère la droite vectorielle D d'équation 3x+y=0.

Les vecteurs (0,0), (1,-3), (-2,6), par exemple, sont sur D. Il est intéressant (d'autant plus que ça va servir pour ton problème) de dresser la liste complète des vecteurs de D.

Comme 3x+y=0 <=> y=-3x, c'est facile ; il suffit de dire que x peut prendre n'importe quelle valeur et que y vaut -3x :

D = { (x,-3x) ; x € IR }

x est le paramètre, au sens que quand x parcourt IR, la formule (x,-3x) te donne la liste des vecteurs de D.

Souvent on préfère employer les lettres du début de l'alphabet grec (ou bien , , etc.) pour désigner le paramètre :



Maintenant, il suffit de remarquer que l'écriture ci-dessus te permet de voir comment D est engendrée :



C'est-à-dire :



Ce qui montre que D est engendrée par le vecteur (1,-3). Comme ce vecteur tout seul forme une famille libre, tu as obtenu une base de D.

2. Plan dans l'espace.

Dans l'espace de dimension 3 (coordonnées x,y,z), considère le plan vectoriel P d'équation x+2y-z=0.

L'équation équivaut à x=-2y+z.

y et z peuvent prendre n'importe quelle valeur, mais ayant fixé y et z, x vaut forcément -2y+z. Autrement dit,

P = { (-2y+z,y,z) ; y,z € IR }

y et z sont les paramètres. Ceci signifie que tu peux donner n'importe quelle valeur à y et n'importe quelle valeur à z, et la formule (-2y+z,y,z) te permet d'obtenir tous les vecteurs de P. En notant et les paramètres :



Autrement dit :


ou encore (c'est ici qu'il faut faire attention) :


Ceci prouve que la famille formée des vecteurs (-2,1,0) et (1,0,1) engendre P... Il reste à démontrer qu'elle est libre pour conclure que c'est une base.

On peut le démontrer directement.

Ou bien, sachant que P est de dimension 2 : une famille génératrice à deux éléments dans un espace de dimension deux est forcément une base.

3. Ton problème.

Il se traite de la même manière. Il y a trois paramètres.

Tu peux partir par exemple du fait que

x+3y+z-2t=0 <=> x=-3y-z+2t

(mais tu peux aussi partir de z=-x-3y+2t, et tu trouveras une autre base ; tu peux partir aussi de y = -1/3 x - 1/3 z + 2/3 t, voire même de trucs plus compliqués).

Tu trouveras trois vecteurs qui engendrent ton espace. De là, comme dans l'exemple 2 :

• soit tu montres directement la liberté
• soit tu sais démontrer que ton sous-espace est de dimension 3 ("hyperplan", ça veut dire : sous-espace de dimension un de moins que l'espace tout entier), et tu peux conclure immédiatement

4. Droite dans l'espace.

Considère dans l'espace de dimension 3, la droite vectorielle D donnée par le système :



En l'état c'est pas clair. Mais une "résolution" du système ramène au système équivalent suivant (entre autres possibilités) :



Ainsi, x peut prendre n'importe quelle valeur, mais alors forcément y vaudra -3x, et z vaudra forcément 4x+y, c'est-à-dire 4x-3x=x.

Autrement dit, x est un paramètre, et les autres coordonnées s'en déduisent :



Et on poursuit comme dans les exemples précédents. C'est une autre formulation de ce que disait charly dans son post quand il parlait de résoudre le système.

Hope it helps...

Taar.

[invite7fcbff32]

Tout compris! Merci beaucoup!

[inviteef5d9812]

Merci pour cette réponse qui m'a moi aussi beaucoup aidé mais cependant j'aurais une question supplémentaire concernant l'un des exemples utilisé : la détermination d'une base du plan définit par x + 2y - z = 0.
Dans la résolution proposée, on simplifie x + 2y - z = 0 en prenant x = -2y + z. Dans ce cas ok pour la résolution. Cependant lorsque l'on prend z = 2y + z, je ne retombe pas sur une base correcte qui vérifie l'équation.

v(x, 2y, 2y+x) = x(1, 0, 1) + y(0, 2, 2)

(1, 0, 1) est solution tandis que (0, 2, 2) ne l'est pas.
Quelqu'un a t'il une idée ?

Merci d'avance.

[invite9cf21bce]

Quelqu'un a t'il une idée ?

Merci d'avance.

Bonsoir Arno.

La méthode est correcte même si on choisit d'exprimer z en fonction de x et y, mais tu t'es trompé en transformant ton équation sous forme paramétrique.

Ça donne en fait :

Taar.

[inviteef5d9812]

Merci pour ton aide. Je vois ou est l'erreur.

[invite2289179c]

j'ai le même problème taar pourquoi ne pas resoudre directement le problème posé car dans ton exposé x ne dépend pas des 4 paramètres on dirait que tu as fait prendre à t la valeur zéro si c'est le cas explique moi pourquoi car je n'ai pas compris et de plus comment montrer qu'on a un hyperplan??? merci bien

[gg0]

Bonjour Tsarsnake.

7 ans après, il est peu probable que Arno ou Taar te répondent !

Cordialement.