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famille génératrice d'un espace vectoriel



  1. #1
    Chokaolic

    famille génératrice d'un espace vectoriel


    ------

    Mettons qu'on a une famille génératrice d'un espace vectoriel E.
    J'ai vu quelque part que si un vecteur quelconque peut s'écrire comme combinaison linéaire des éléments de cette famille génératrice, on en déduit que ce vecteur quelconque appartient à E. Mais je ne comprends pas pourquoi. En effet, je ne vois aucun théorème ni aucun résultat quelconque de cours, ni aucune définition qui me permette de l'affirmer. La définition d'une famille génératrice ne dit pas cela par exemple. Quel est donc ce résultat qui nous permet de passer de la combinaison linéaire d'éléments d'une famille génératrice à l'appartenance à E?

    De la même façon, je me demande pourquoi, si tous les vecteurs d'une famille génératrice d'un espace vectoriel F sont inclus dans le même espace vectoriel G, on peut en déduire que F c G? Pourquoi le fait que la famille génératrice d'un espace vectoriel F soit incluse dans un autre espace vectoriel G entraîne que TOUS les vecteurs de l'espace vectoriel F soient inclus dans G?

    -----

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  3. #2
    invite43219988

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Mettons qu'on a une famille génératrice d'un espace vectoriel E.
    J'ai vu quelque part que si un vecteur quelconque peut s'écrire comme combinaison linéaire des éléments de cette famille génératrice, on en déduit que ce vecteur quelconque appartient à E.
    Si u est une famille génératrice de E, alors n'importe quelle combinaison linéaire de u appartient à E.
    Donc si un vecteur peut s'écrire comme combinaison linéaire des éléments de cette famille génératrice, on en déduit que ce vecteur quelconque appartient à E.

  4. #3
    Chokaolic

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Citation Envoyé par Ganash
    Si u est une famille génératrice de E, alors n'importe quelle combinaison linéaire de u appartient à E.
    D'accord mais pourquoi?!! Qu'est-ce qui te permet de dire cela? Est-ce qu'il y a une proposition qui te permet d'affirmer cela? A quoi cela tient-il? Peux-tu me le démontrer d'une manière ou d'une autre?

  5. #4
    Djoe

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Notons u =(e1,e2,...,en) une famille generatrice de E
    Alors par definition de u, E=vect[e1,e2,...en]
    Donc il existe a1,a2,...an tels que tous vecteur de E, noté e, s'ecrive sous la forme :
    e=a1e1 + a2e2 +... +anen

    Voilà, E, c'est l'ensemble descombinaisons linéaires des vecteurs de u, du moins en dimension finie.

  6. #5
    Chokaolic

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Citation Envoyé par Djoe
    Notons u =(e1,e2,...,en) une famille generatrice de E
    Alors par definition de u, E=vect[e1,e2,...en]
    Mais Vect(e1,e2,...en) ce n'est pas le plus petit sous-espace vectoriel engendré par (e1,e2,...en)? Donc est-ce qu'on a forcément E=vect(e1,e2,...en) si (e1,e2,...en) est une famille génératrice de E?
    Sinon j'ai compris, merci beaucoup!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Djoe

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    en fait, vect[e1,e2,...en] est le seul sous espace vectoriel engendré par u.
    Par definition :
    (E espace engendré par u=(e1,e2,...,en))<=> (E=vect[e1,e2,...,en])

    Si tu prend un vecteur quelquonques, noté e', de u, il est un combinaison linéaire de e1,e2,...,en.

    l'espace vect[e1,e2,...,en] sera le même que vect[e1,e2,...,en,e']

    la famille dans le vect sera la plus petite possible quand elle sera libre, mais si tu ajoute un autre vecteur colinéaire à cette famille libre, alors les deux vect sont egaux, mais les familles sont différentes

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  10. #7
    matthias

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Tu n'es pas obligé de créer plusieurs fils pour poser grosso modo les mêmes questions.

  11. #8
    Chokaolic

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    très grosso modo alors

  12. #9
    matthias

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Mouais bon, vu la clarté de l'autre fil, je crois que je suis assez excusable d'y avoir vu à peu près la même question

  13. #10
    Greyplayer

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Citation Envoyé par Djoe
    Notons u =(e1,e2,...,en) une famille generatrice de E
    Alors par definition de u, E=vect[e1,e2,...en]
    Donc il existe a1,a2,...an tels que tous vecteur de E, noté e, s'ecrive sous la forme :
    e=a1e1 + a2e2 +... +anen
    oulah!
    grosse erreur sur la position des quantificateurs
    il faut dire pour tout vecteur e de E, il existe a1,...,an,
    tel que e=a1e1+...+anen
    pour en revenir à la discussion, la définition de famille génératrice te donne immédiatement que
    (e1,...,en) famille génératrice de E<=>E=Vect((e1,...,en))
    <=>tout vecteur de E est combinaisonlinéaire de vecteurs de (e1,...,en)
    Sauver une vie ne prend que dix minutes:donnez votre sang!

  14. #11
    Chokaolic

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    La nuance c'est que ces a1,...an ne sont pas forcément les mêmes pour tous les vecteurs de E, c'est ça?

  15. #12
    Chokaolic

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    En même temps, Matthias, ce serait plus clair si j'avais tout compris: "Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire viennent aisément" mais alors tu n'aurais plus rien à faire! Donc avoue toi content qu'il y ait des gens pour qui les sous-espaces vectoriels c'est affreusement abstrait et incompréhensible.

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  17. #13
    Greyplayer

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Citation Envoyé par Chokaolic
    La nuance c'est que ces a1,...an ne sont pas forcément les mêmes pour tous les vecteurs de E, c'est ça?
    exactement!
    sinon, ton espace n'a qu' un seul vecteur
    Sauver une vie ne prend que dix minutes:donnez votre sang!

  18. #14
    Djoe

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Citation Envoyé par Greyplayer
    oulah!
    grosse erreur sur la position des quantificateurs
    il faut dire pour tout vecteur e de E, il existe a1,...,an,
    tel que e=a1e1+...+anen
    pour en revenir à la discussion, la définition de famille génératrice te donne immédiatement que
    (e1,...,en) famille génératrice de E<=>E=Vect((e1,...,en))
    <=>tout vecteur de E est combinaisonlinéaire de vecteurs de (e1,...,en)
    Oui, merci, ça n'avait aucun sens ce que j'avais écrit !

  19. #15
    Chokaolic

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Encore moi.
    Comment peut-on déterminer une base d'un espace vectoriel E à partir des équations cartésiennes caractérisant un de ses supplémentaires? Faut-il d'abord déterminer une base du supplémentaire en question? Faut-il utiliser la somme directe et donc le fait que l'intersection de l'espace vectoriel E et de son supplémentaire est nul? Exemple?
    Merci de m'aider!

  20. #16
    Chokaolic

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Si je donne un exemple:
    on a R3= E + F où la somme est directe
    on a F caractérisé par l'équation: x-y+z=0 et c'est tout ce que l'on sait
    comment en déduire une base de E??

  21. #17
    Romain BERTOUY

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    il y a plusieurs façon mais tu peux déjà regarder la dimension de F, en déduire celle de E (puisqu'ils sont en somme direct, et que tu connais la dimension de R3)

    Puis trouver une base pour F et compléter pour arriver en dimension de R3 avec une base de E.

    (peut être que la dedans y a un truc que tu ne comprends dis nous ce qui te bloque, il y a plusieurs façon de s'en sortir)
    Romain

  22. #18
    Chokaolic

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Je vois ce que tu veux dire mais je ne comprends pas pourquoi on peut affirmer que le vecteur qu'on va choisir dans E sera libre avec n'importe quelle base de F et donc que les deux bases mises ensemble, on a une base de E3.

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  24. #19
    Chokaolic

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    R3 pas E3 pardon.

  25. #20
    Greyplayer

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Citation Envoyé par Chokaolic
    Si je donne un exemple:
    on a R3= E + F où la somme est directe
    on a F caractérisé par l'équation: x-y+z=0 et c'est tout ce que l'on sait
    comment en déduire une base de E??
    dans R3 c'est facile mais on ne peut pas determiner entièrement E
    x+-y+z=0 c'est l'équation d'un plan
    donc E est une droite, mais il y a beaucoup de droites qui n'appartiennent pas à un plan donné
    tu peux facilement déterminer un E qui convient, il suffit de trouver un vecteur v de R3 qui ne vérifie pas ton equation et de prendre E=Vect(v)
    par exemple E=Vect((1,1,1,)) convient parfaitement
    Sauver une vie ne prend que dix minutes:donnez votre sang!

  26. #21
    Chokaolic

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    S'il suffit de trouver un vecteur v de R3 qui ne soit pas dans F pour avoir un vecteur de E, donc si E est l'ensemble des vecteurs de R3 qui ne sont pas dans F alors je ne comprends pas pourquoi le supplémentaire n'est pas unique.
    Merci de m'expliquer.

  27. #22
    matthias

    Re : famille génératrice d'un espace vectoriel

    Citation Envoyé par Chokaolic
    S'il suffit de trouver un vecteur v de R3 qui ne soit pas dans F pour avoir un vecteur de E, donc si E est l'ensemble des vecteurs de R3 qui ne sont pas dans F alors je ne comprends pas pourquoi le supplémentaire n'est pas unique.
    Merci de m'expliquer.
    Si F est de dimension 2, tout supplémentaire de F dans R3 sera de dimension 1, donc une droite vectorielle. Le fait simple que tu puisses trouver au moins deux vecteurs non colinéaires qui ne sont pas dans F te montre qu'il n'y a pas de supplémentaire unique, puisque que ces deux vecteurs vont engendrer deux droites vectorielles différentes.

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