famille génératrice d'un espace vectoriel

[invite613a4e44]

Mettons qu'on a une famille génératrice d'un espace vectoriel E.
J'ai vu quelque part que si un vecteur quelconque peut s'écrire comme combinaison linéaire des éléments de cette famille génératrice, on en déduit que ce vecteur quelconque appartient à E. Mais je ne comprends pas pourquoi. En effet, je ne vois aucun théorème ni aucun résultat quelconque de cours, ni aucune définition qui me permette de l'affirmer. La définition d'une famille génératrice ne dit pas cela par exemple. Quel est donc ce résultat qui nous permet de passer de la combinaison linéaire d'éléments d'une famille génératrice à l'appartenance à E?

De la même façon, je me demande pourquoi, si tous les vecteurs d'une famille génératrice d'un espace vectoriel F sont inclus dans le même espace vectoriel G, on peut en déduire que F c G? Pourquoi le fait que la famille génératrice d'un espace vectoriel F soit incluse dans un autre espace vectoriel G entraîne que TOUS les vecteurs de l'espace vectoriel F soient inclus dans G?
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[invitebb921944]

Mettons qu'on a une famille génératrice d'un espace vectoriel E.
J'ai vu quelque part que si un vecteur quelconque peut s'écrire comme combinaison linéaire des éléments de cette famille génératrice, on en déduit que ce vecteur quelconque appartient à E.

Si u est une famille génératrice de E, alors n'importe quelle combinaison linéaire de u appartient à E.
Donc si un vecteur peut s'écrire comme combinaison linéaire des éléments de cette famille génératrice, on en déduit que ce vecteur quelconque appartient à E.

[invite613a4e44]

Si u est une famille génératrice de E, alors n'importe quelle combinaison linéaire de u appartient à E.

D'accord mais pourquoi?!! Qu'est-ce qui te permet de dire cela? Est-ce qu'il y a une proposition qui te permet d'affirmer cela? A quoi cela tient-il? Peux-tu me le démontrer d'une manière ou d'une autre?

[invite06f59493]

Notons u =(e1,e2,...,en) une famille generatrice de E
Alors par definition de u, E=vect[e1,e2,...en]
Donc il existe a1,a2,...an tels que tous vecteur de E, noté e, s'ecrive sous la forme :
e=a1e1 + a2e2 +... +anen

Voilà, E, c'est l'ensemble descombinaisons linéaires des vecteurs de u, du moins en dimension finie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite613a4e44]

Notons u =(e1,e2,...,en) une famille generatrice de E
Alors par definition de u, E=vect[e1,e2,...en]

Mais Vect(e1,e2,...en) ce n'est pas le plus petit sous-espace vectoriel engendré par (e1,e2,...en)? Donc est-ce qu'on a forcément E=vect(e1,e2,...en) si (e1,e2,...en) est une famille génératrice de E?
Sinon j'ai compris, merci beaucoup!

[invite06f59493]

en fait, vect[e1,e2,...en] est le seul sous espace vectoriel engendré par u.
Par definition :
(E espace engendré par u=(e1,e2,...,en))<=> (E=vect[e1,e2,...,en])

Si tu prend un vecteur quelquonques, noté e', de u, il est un combinaison linéaire de e1,e2,...,en.

l'espace vect[e1,e2,...,en] sera le même que vect[e1,e2,...,en,e']

la famille dans le vect sera la plus petite possible quand elle sera libre, mais si tu ajoute un autre vecteur colinéaire à cette famille libre, alors les deux vect sont egaux, mais les familles sont différentes

[invitec314d025]

Tu n'es pas obligé de créer plusieurs fils pour poser grosso modo les mêmes questions.

[invite613a4e44]

très grosso modo alors

[invitec314d025]

Mouais bon, vu la clarté de l'autre fil, je crois que je suis assez excusable d'y avoir vu à peu près la même question

[invite2ec8adb6]

Notons u =(e1,e2,...,en) une famille generatrice de E
Alors par definition de u, E=vect[e1,e2,...en]
Donc il existe a1,a2,...an tels que tous vecteur de E, noté e, s'ecrive sous la forme :
e=a1e1 + a2e2 +... +anen

oulah!
grosse erreur sur la position des quantificateurs
il faut dire pour tout vecteur e de E, il existe a1,...,an,
tel que e=a1e1+...+anen
pour en revenir à la discussion, la définition de famille génératrice te donne immédiatement que
(e1,...,en) famille génératrice de E<=>E=Vect((e1,...,en))
<=>tout vecteur de E est combinaisonlinéaire de vecteurs de (e1,...,en)

[invite613a4e44]

La nuance c'est que ces a1,...an ne sont pas forcément les mêmes pour tous les vecteurs de E, c'est ça?

[invite613a4e44]

En même temps, Matthias, ce serait plus clair si j'avais tout compris: "Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire viennent aisément" mais alors tu n'aurais plus rien à faire! Donc avoue toi content qu'il y ait des gens pour qui les sous-espaces vectoriels c'est affreusement abstrait et incompréhensible.

[invite2ec8adb6]

La nuance c'est que ces a1,...an ne sont pas forcément les mêmes pour tous les vecteurs de E, c'est ça?

exactement!
sinon, ton espace n'a qu' un seul vecteur

[invite06f59493]

oulah!
grosse erreur sur la position des quantificateurs
il faut dire pour tout vecteur e de E, il existe a1,...,an,
tel que e=a1e1+...+anen
pour en revenir à la discussion, la définition de famille génératrice te donne immédiatement que
(e1,...,en) famille génératrice de E<=>E=Vect((e1,...,en))
<=>tout vecteur de E est combinaisonlinéaire de vecteurs de (e1,...,en)

Oui, merci, ça n'avait aucun sens ce que j'avais écrit !

[invite613a4e44]

Encore moi.
Comment peut-on déterminer une base d'un espace vectoriel E à partir des équations cartésiennes caractérisant un de ses supplémentaires? Faut-il d'abord déterminer une base du supplémentaire en question? Faut-il utiliser la somme directe et donc le fait que l'intersection de l'espace vectoriel E et de son supplémentaire est nul? Exemple?
Merci de m'aider!

[invite613a4e44]

Si je donne un exemple:
on a R³= E + F où la somme est directe
on a F caractérisé par l'équation: x-y+z=0 et c'est tout ce que l'on sait
comment en déduire une base de E??

[invite0f5c0a62]

il y a plusieurs façon mais tu peux déjà regarder la dimension de F, en déduire celle de E (puisqu'ils sont en somme direct, et que tu connais la dimension de R3)

Puis trouver une base pour F et compléter pour arriver en dimension de R3 avec une base de E.

(peut être que la dedans y a un truc que tu ne comprends dis nous ce qui te bloque, il y a plusieurs façon de s'en sortir)

[invite613a4e44]

Je vois ce que tu veux dire mais je ne comprends pas pourquoi on peut affirmer que le vecteur qu'on va choisir dans E sera libre avec n'importe quelle base de F et donc que les deux bases mises ensemble, on a une base de E3.

[invite613a4e44]

R3 pas E3 pardon.

[invite2ec8adb6]

Si je donne un exemple:
on a R³= E + F où la somme est directe
on a F caractérisé par l'équation: x-y+z=0 et c'est tout ce que l'on sait
comment en déduire une base de E??

dans R3 c'est facile mais on ne peut pas determiner entièrement E
x+-y+z=0 c'est l'équation d'un plan
donc E est une droite, mais il y a beaucoup de droites qui n'appartiennent pas à un plan donné
tu peux facilement déterminer un E qui convient, il suffit de trouver un vecteur v de R3 qui ne vérifie pas ton equation et de prendre E=Vect(v)
par exemple E=Vect((1,1,1,)) convient parfaitement

[invite613a4e44]

S'il suffit de trouver un vecteur v de R3 qui ne soit pas dans F pour avoir un vecteur de E, donc si E est l'ensemble des vecteurs de R3 qui ne sont pas dans F alors je ne comprends pas pourquoi le supplémentaire n'est pas unique.
Merci de m'expliquer.

[invitec314d025]

S'il suffit de trouver un vecteur v de R3 qui ne soit pas dans F pour avoir un vecteur de E, donc si E est l'ensemble des vecteurs de R3 qui ne sont pas dans F alors je ne comprends pas pourquoi le supplémentaire n'est pas unique.
Merci de m'expliquer.

Si F est de dimension 2, tout supplémentaire de F dans R3 sera de dimension 1, donc une droite vectorielle. Le fait simple que tu puisses trouver au moins deux vecteurs non colinéaires qui ne sont pas dans F te montre qu'il n'y a pas de supplémentaire unique, puisque que ces deux vecteurs vont engendrer deux droites vectorielles différentes.