Homéomorphisme croissant

[invitea87a1dd7]

Bonjour à tous, je bloque sur une question simple (en fait, j'ai le début de la démo, mais je n'arrive pas à finir) :
Voici les questions
Pour montrer que c'est un homéomorphisme croissant, je dois montrer que g est une bijection croissante de ]a,b[ dans ]g(a),g(b)[ donc que g est strictement croissante sur ]a,b[ . Le calcul de g' précédent permet de trouver :

Et normalement je dois avoir f'(x) plus grand que le terme d'à côté qui est égal à f'(c) (c unique). Et comme on sait que f' est strict. croissante, normalement ca devrais être terminé.... si seulement c était plus petit que x... or x et c sont dans dans ]a,b[...
Merci de m'aider
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[invitec314d025]

si seulement c était plus petit que x... or x et c sont dans dans ]a,b[...
Merci de m'aider

Mais tu sais que c < x puisqu'il vient des accroissement finis entre a et x !

[invitea87a1dd7]

Ah bah oui, dans la première question, c'est parce que à chaque fois j'appliquais l'Egalité des Accroissements Finis sur un intervalle du type ]a,x[ avec x inférieur à b, et donc le c était plus petit que x puisque dans ]a,x[...c'est ça ?
Merci

[invitea87a1dd7]

Bon je voulais votre avis sur une question qui vient après. Voici la question :
Soit h définie de [a,b] dans R par h(a) = a et, si x>a h(x) = c avec c la solution de la première question. Il faut montrer que h est strict. croissante :
J'ai dit que (f' o h) (x) = g (x ) pour tout x de ]a,b[ et (f' o h) (a) = g ( a )
or g est strict. croissante, et f' aussi, donc nécessairement h est strict croissante (règle avec la composé de fonctions). Est-ce que c'est valable ? Reste ensuite à régler le problème en b..
Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea87a1dd7]

Nan en fait il n'y a pas de problème en b. Par contre, je me demande si lorsqu'on écrit ça, cela implique que h est continue...n'y a-t-il pas une autre méthode pour démontrer que c'est strictement croissant sans composer par f' à gauche ?

[invitea87a1dd7]

Mmmm finalement, cette méthode n'est peut être pas la bonne, je viens de me rendre compte que l'histoire des composées marchait pas vraiment...Quelqu'un aurait un idée ?

Merci

[invitec314d025]

Je ne vois pas de problème avec la composée. Supposes h non strictement croissante et fais un raisonnement par l'absurde.

[invitea87a1dd7]

Bah justement, si h n'est pas strictement croissante, h peut être croissante, et ca marche quand même non ? Enfin, le problème c'est que ca marche pas mais je sais pas comment le dire : par exemple si h était croissante, je pourrais pas appliquer f' aux éléments dans l'image par h de [a,b] (du fait de l'inégalité large), ca d'accord, mais ca me parait pas suffisant...
Un autre truc, lorsque qu'on doit montrer que g est un homéomorphisme croissant, j'ai montré que c'était strictement croissant sur ]a,b[ et comme g est continu sur [a,b] on a bien le droit de dire que g est strictement croissant sur [a,b] ? Ou alors pour montrer que c'est un homéomorphisme il suffit de le montrer sur ]a,b[ ?

Merci

[invitec314d025]

Bah justement, si h n'est pas strictement croissante, h peut être croissante, et ca marche quand même non ? Enfin, le problème c'est que ca marche pas mais je sais pas comment le dire : par exemple si h était croissante, je pourrais pas appliquer f' aux éléments dans l'image par h de [a,b] (du fait de l'inégalité large), ca d'accord, mais ca me parait pas suffisant...

Par l'absurde.
Imagine que pour x<y on ait h(x)>=h(y), donc f'(h(x))>=f'(h(y)) et donc g(x)>=g(y) et g n'est pas strictement croissante.

Un autre truc, lorsque qu'on doit montrer que g est un homéomorphisme croissant, j'ai montré que c'était strictement croissant sur ]a,b[ et comme g est continu sur [a,b] on a bien le droit de dire que g est strictement croissant sur [a,b] ? Ou alors pour montrer que c'est un homéomorphisme il suffit de le montrer sur ]a,b[ ?

- Sans utiliser la continuité: si g est croissante sur [a;b] et strictement croissante sur ]a;b[, elle est strictement croissante sur [a;b]
Imagine qu'il existe x>a tel que g(x) = g(a) alors g devra être constante sur ]a;x[ => contradiction
Pareil en b.

- Avec la continuité: si g est croissante sur ]a;b[ et continue en a alors g(a) = inf{g(x)/x>a} (g(a) = limite à droite en a) et donc g croissante sur [a;b[. Ensuite tu réutilises, le truc d'avant.
pareil en b.

Bon j'ai pas regardé spécifiquement pour ton problème (j'ai un peu oublié les données de base), et j'ai pondu ça vite fait , donc tu peux peut-être faire plus simple.

[invitea87a1dd7]

Oui g est continue sur [a,b] (par définition) donc le dernier point est bon (par contre sans la continuité, rien ne dit que g est croissante sur [a,b])

Bon par contre pour le premier truc, quand tu montres par l'absurde, c'est pas bon :
tu dis que la négation de "être strictement croissante" c'est "être décroissante" Il faut traiter les autres cas aussi. Il faut montrer que :
-si h est décroissante c'est absurde (c'est fait)
-si h est croissante, c'est absurde aussi (justement le problème vient des inégalités strictes ou pas)
-si h est quelconque c'est absurde, ca, c'est bon aussi

@++

[invitec314d025]

Bon par contre pour le premier truc, quand tu montres par l'absurde, c'est pas bon :
tu dis que la négation de "être strictement croissante" c'est "être décroissante"

Non ce n'est évidemment pas ce que je dis, mais je n'ai peut-être pas été suffisament clair.
f strictement croissante <=> pour tout (x;y) tel que x<y on a f(x)<f(y)
f non strictement croissante <=> il existe (x;y) tel que x<y et f(x)>=f(y)

Il faut traiter les autres cas aussi. Il faut montrer que :
-si h est décroissante c'est absurde (c'est fait)
-si h est croissante, c'est absurde aussi (justement le problème vient des inégalités strictes ou pas)
-si h est quelconque c'est absurde, ca, c'est bon aussi

Il faut surtout savoir manier les négations de propositions contenant des opérateurs du genre "quelque soit", 'il existe", etc. Tu n'as pas besoin d'aller regarder tous ces cas.

[invitea87a1dd7]

Au temps pour moi, je suis bête Evidemment, la négation de "quelque soit x, on a une proposition dépendant de x" c'est "il existe un x, contre exemple de la proposition" Or ce n'est pas possible qu'il existe d'après les autres fonctions
Ok ok merci bien

[invitea87a1dd7]

Bon même si ca marche, je me demande s'il n'y a pas une autre méthode, car voici la question en entier :
a)montrer que h est strict. croissant (c'est fait)
b)montrer que pour tout y de [a,h(b)] il existe un, et un seul, x de [a,b] tel que g(x)=f'(y)
c)En déduire h([a,b])=[a,h(b)]
Bizarre, car la b) utilise justement l'égalité utilisée dans la a), et tout me paraît évident...: le fait qu'il existe un unique x vient du fait que g est continue strictement croissante (TVI) et la question c) en découle donc. Par contre je m'embrouille parce que j'ai l'impression de devoir utiliser la question c) pour répondre à la b)...

ps: à dire vrai, je sais pas s'il faut utiliser le TVI, car rien ne dit que h est continue...

[invitea87a1dd7]

Bon merci mathias, j'ai réussi à finir la première partie
Dans la deuxième partie, j'arrive à la question 1.d) et 2.), mais j'arrive à et après j'arrive à pas à éliminer certains trucs lorsque j'essaye de montrer que est solution. Si quelqu'un a une idée...
Merci

[invitea87a1dd7]

Bon après développement, je me rend compte que vérifier que est solution revient à montrer que
Ca me parait faux, non ?

[invitea87a1dd7]

Bon mon dernier truc était faux pour information En fait c'était assez simple, il suffisait de mettre en fonction de y, et ca allait.